Matrice inverse et matrice définie positive

invite152a412d · 24/09/2011, 14h53

Bonjour

On a vu en cours que si A $\text{[math]}$ Mn( $\text{[math]}$ ) est inversible alors la matrice $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est symétrique, définie positive. Il y a des parties dans la démonstration que je ne comprends pas tellement si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa.

Appelons $\text{[math]}$ la matrice $\text{[math]}$ Le fait que M soit symétrique ça c'est bon j'ai compris on a facilement l'égalité $\text{[math]}$ . C'est pour montrer qu'elle est définie positive que ça me pose problème, voila ce qu'on a écrit :

On utilise le fait que si M est définie positive alors $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ . On a alors : $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =||A.X||² et c'est cette dernière égalité que je ne comprends pas. Je n'arrive pas à voir comment on en arrive à la norme au carré.

Ensuite on a donc ||A.X||² $\text{[math]}$ 0. Supposons ||A.X||²=0 $\text{[math]}$ A.X=0 et de là on a l'implication X=0 car A est inversible. Pourquoi cela?

Merci d'avance pour vos réponses!!!

invite57a1e779 · 24/09/2011, 14h59

Si $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ , alors, puisque $\text{[math]}$ est inversible : $\text{[math]}$ .

invite152a412d · 24/09/2011, 15h02

Ah OK je comprends mieux maintenant. Merci beaucoup pour ta réponse si rapide!!!!!

invite152a412d · 24/09/2011, 15h10

Le prof nous a donné un exo à faire c'est celui-ci :

Soit A $\text{[math]}$ Mn( $\text{[math]}$ inversible. Vérifez que A $\text{[math]}$ =( $\text{[math]}$ A.A) $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ A.

Je veux juste savoir si il faut se servir de la proposition dont j'ai parlé avant ou pas car je suis dessus depuis un petit moment je ne m'en sors pas

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 24/09/2011, 15h14

Il suffit de calculer $\text{[math]}$ et de vérifier que l'on obtient $\text{[math]}$ après simplification.

invite152a412d · 24/09/2011, 15h28

J'ai trouvé ça est-ce correct?

( $\text{[math]}$ A.A) $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ A = A $\text{[math]}$ .( $\text{[math]}$ A) $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ A = A $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ (A $\text{[math]}$ .A) = A $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ Id = A $\text{[math]}$ .Id = A $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 24/09/2011, 15h47

Oui, tout simplement.

invite152a412d · 24/09/2011, 16h42

Ok merci pour ton aide

invite93aa028b · 24/06/2015, 16h50

et si A appartient a Mn(C) comment montrer le meme résultat ?? ( A*A est hermitienne definie positive)

invite757adee6 · 25/06/2015, 22h20

la forme quadratique est une norme : $\text{[math]}$

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