Matrice définie positive

[Tryss]

Bonjour,

J'aimerai bien démontrer qu'une certaine matrice tridiagonale par blocs est symétrique définie positive (afin d'appliquer des méthodes de résolution numérique de systèmes). Seul hic, je ne vois pas de moyen simple de le démontrer.

Voici la tête de la matrice pour un n entier naturel:



Avec n matrices A sur la diagonale, où A est la matrice carrée de taille n suivante:



Pour n=3, on a la matrice suivante :


Si quelqu'un a une idée de comment faire (de préférence d'une façon élégante plutôt que bourrine), je suis preneur.

Merci d'avance

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Cette matrice est obtenue en cherchant a résoudre de façon numérique l'équation différentielle (et en découpant ligne par ligne)

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[God's Breath]

Il est classique de calculer les valeurs propres de la matrice tridiagonale , il suffit d'étudier les suites numériques qui satisfont la relation de récurrence , avec les conditions aux limites . On prouve alors que est diagonalisable, et on exhibe une base de vecteurs propres.
Si tu ne connais pas, consulte ce document.
La même méthode conduit à rechercher les valeurs propres de en étudiant les suites de vecteurs colonnes qui satisfont la relation de récurrence , avec les conditions aux limites .
Comme on sait que diagonalise sous la forme , cela revient à étudier les suites de vecteurs colonnes qui satisfont la récurrence , avec les conditions aux limites , ce qui revient à étudier suites numériques du type de celles qui interviennent dans la diagonalisation de , mais avec les valeurs propres de (les éléments diagonaux de ) à la place de l'élément de la diagonale de .
Une fois que l'on a calculé les valeurs propres de , il reste à voir si elles sont positives...
Comme on sait calculer les colonnes , on peut même connaître explicitement une base de vecteurs propres de en calculant les colonnes .

[invite899aa2b3]

Bonjour, as-tu essayé le critère de Sylvester?

[Tryss]

Oui, j'avais pensé au critère de Sylvester mais avec 4 coefficients par lignes ça me parraissait délicat. Revenir sur le problème avec la tête fraiche m'a fait du bien... Et en fait c'est complètement trivial.

Il suffit d'écrire que M = L+U (ou L est triangulaire inférieure et U triangulaire supérieure, et U la transposée de L, ie. les deux matrices ont des 2 sur la diagonale)

L étant triangulaire, la sous matrice de taille k a pour déterminant le produit de ses coefficients diagonaux, donc ici 2^k >0, donc par le critère de Sylvester, L est définie positive
De même pour U

Et la somme de deux matrices définies positives est une matrice définie positive... donc M est définie positive

A priori ça marche. En tout cas merci pour vos réponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Bonjour,

Si et , serait définie positive ?

[Tryss]

Je savais bien qu'il y avait quelque chose qui clochait... Merci de me remettre les idées en place. (j'avais légèrement omis le symétrique )

Par contre en décomposant la matrice M en deux matrices, une symétrique et diagonale par blocs (que l'on pourra décomposer en n matrices plus simples) et l'autre symétrique ça me semble déjà plus faisable que d'utiliser le critère de Sylvester sur la matrice telle quelle.

Si ça ne donne rien, j'utiliserai surement ta méthode God Breath