Suite de fonction

[invitecaeaab4f]

Bonjour,

Soit la suite de fonctions (fn) où chaque fn est définie sur [0,1] par fn(x)=n^2 * x * (1-nx) si x appartient à [0,1/n] et fn(x)=0 sinon.
n>=1.

Donc (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].

Je dois ensuite calculer l'intégrale de 0 à 1 de fn(t). Je trouve donc n^2 / 2 - n^3 / 3 . Et comme la limite de cette intégrale (+l'inf) quand n tend vers l'infini est différente de l'intégrale de la limite de fn quand n tend vers l'infini : 0, on peut en déduire que la convergence n'est pas uniforme sur [0,1].

On peut ensuite refaire la même chose sur [a,1] avec 0<a<1, mais je trouve de nouveau qu'il n'y a pas de convergence uniforme.
Donc je pense qu'il y a un problème.

En espérant un coup de pouce, et qu'on me confirme les bonnes réponses.

Merci d'avance.
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[invite51d17075]

Bonjour,

Soit la suite de fonctions (fn) où chaque fn est définie sur [0,1] par fn(x)=n^2 * x * (1-nx) si x appartient à [0,1/n] et fn(x)=0 sinon.
n>=1.

Donc (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].

Je dois ensuite calculer l'intégrale de 0 à 1 de fn(t). Je trouve donc n^2 / 2 - n^3 / 3 . Et comme la limite de cette intégrale (+l'inf) quand n tend vers l'infini est différente de l'intégrale de la limite de fn quand n tend vers l'infini : 0, on peut en déduire que la convergence n'est pas uniforme sur [0,1].
.

je ne trouve rien comme vous.
fn(x) ne converge pas vers 0
et l'intégrale vaut 1/6 quelque soit n.

[invite51d17075]

pardon convergence simple ou uniforme.

[invite57a1e779]

On peut ensuite refaire la même chose sur [a,1] avec 0<a<1, mais je trouve de nouveau qu'il n'y a pas de convergence uniforme.

Sur la suite stationne à 0, donc il y a convergence uniforme ; la suite des intégrales staionne aussi à 0 : je ne vois pas où est le problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecaeaab4f]

Pourtant quand je calcule l'intégrale de a à 1, je trouve 1/6 - (a^2*n^2)/2 + (a^3*n^3)/3
ce qui ne tend pas vers 0 quand n -> l'inf

[inviteaf1870ed]

mais pour n assez grand, 1/n<a et la fonction est nulle sur [a,1] !

Et je confirme que l'intégrale de 0 à 1 vaut toujours 1/6

[invitecaeaab4f]

Merci !

[invite51d17075]

Bonjour,

Soit la suite de fonctions (fn) où chaque fn est définie sur [0,1] par fn(x)=n^2 * x * (1-nx) si x appartient à [0,1/n] et fn(x)=0 sinon.
n>=1.

c'est peut être ça que tu as oublié.