Bonjour à tous
Il y'a un petit point que je ne comprends pas lorsque l'on définit une fonction à l'aide d'une suite.
Exemple : Soit la suite définie par Un+1 = Un(2-Un)
Comment cela se fait il qu'on puisse définir une fonction f(x) = x(2-x) pour en étudier les variations et montrer à l'aide de celle ci que Un est majorée par 1 ?
Dans quel cas ne peut on pas associer une suite à une fonction ?
Merci de vos réponses
Je complète encore ma question:
pourquoi montre t on que la suite est majorée en 1 en montrant que si x appartient à [0;1] f(x) appartient à ce même intervale, alors que la fonction existe sur R ? Quel est le rapport entre l'intervalle [0;1] et la suite?
As-tu vu le raisonnement par récurrence?
Si tu as: (1)alors
Tu initialises ta récurrence,
puis tu supposes qu'à un rang n donné tu as:
Alors d'après (1):
.
Ok, f(Un) = Un+1
Mais c'est avec les bornes que cela m'embrouille. La fonction elle n'est pas limitiée à 1. Que se passerait il si on prenant la borne [2;3] ?
Niveau raisonnement, j'ai compris pourquoi on associe la suite à la fonction, mais j'ai du mal à me le représenter.
Il faut bien voir qu'on étudie une suite récurrente, or si on étudiait la suite définie par Un=n(2-n), cette suite aurait la même tête que f.
Là c'est pas pareil,c'est f(un)=Un+1 comme tu l'as compris.
As-tu déjà déterminé graphiquement les termes d'une telle suite ?
Tu traces la fonction, puis la première bissectrice (y=x), et tu pars en escalier ou en escargot. Tu te rends compte assez vite que les termes peuvent diverger, ou bien "s'accumuler" dans la même zone. Ainsi, même si ta fonction n'est pas bornée, tous les termes de la suite récurrente peuvent "s'entasser" de plus en plus, cad que ta suite converge.
Regarde donc la suite
Oui je vois bien l'allure de ce graphe. J'ai presque tout compris: peux tu m'expliquer ce que veux dire exactement " suite récurrente " ?
Je sais comment appliquer la récurrence mais je ne me suis jamais vraiment demandé ce que cela voulait dire
De plus :
Si on a la suite Un = n(n-2) la fonction associée sera Un = f(n) ?
Oui, si on a Un=n(n-2), eh bien il faut étudier f(x)=x(x-2), ses variations, son signe, sa limite à l'infini, et Un aura le même comportement, mis à part qu'elle ne prend des valeurs que sur N.
Autrement dit, je ne veux pas compliquer les choses, mais si t'as Un=1/(n-0.5), eh bien f(x)=1/(1-0.5) aura des problèmes en 0.5 alors que Un, elle s'en fout.
Bref, sinon, une suite récurrente c'est une suite pour laquelle on doit connaître les termes précédents pour calculer le terme voulu.
Un+2=3Un+1-Un, avec U0=U1=3 par exemple.
Eh bien si je te demande ce que vaut U50, tu vas devoir calculer U3,U4,U5...,U48,U49 pour me donner U50.
Une suite de la forme Un=n(n-2) est dite de terme général, car si je te demande U50, c'est directement 50(50-2)
Cordialement.
ah ben merci beaucoup, tout est plus clair maintenant
