Bonjour.
Soit P(x) = x² - 3x + 2.
On se propose de démontrer que, pour tout entier naturel n, il existe des réels An et Bn et une fonction polynôme Fn tels que : pour tout x€IR, xn = P(x).Fn(x) + Anx + Bn.
1) Déterminer A0, B0, F0, puis A1, B1, F1, puis A2, B2, F2 puis A3, B3, F3.
Je ne sais même pas répondre à cette première question !! Qu'est-ce que sera le reste ?!!... S'il vous plaît on peut m'aider ???
Merci.
Salut, pour A_0, B_0, et F_0 remplace n par 0 et P par son expression dans la formule et tu verras apparaitre le résultat. Pareil pour les autres.
Essaye d'écrire
x0=p(x)*qqchose+x*truc+machin
tu auras tes coefficients A0, B0, F0
J'ai obtenu :
x²F0(x) + x(A0-3F0(x)) + 2F0(x) + b0 - 1 = 0
Je ne vois pas comment je dois faire, ensuite...
Faut-il calculer le discriminant ???
dans ce cas j'ai :
Delta = A0² - 6F0(x)A0 - 5F0(x)² - B0 + 1
Que faire maintenant ??? Merci!
Ton équation est de la forme AX²+BX+C=1, elle doit être vraie pour tout x, donc tu peux dire que les coefficients en x² et en x sont nuls, puis que le coefficient constant (mon C plus haut) est égal à 1
Alors donc, si C = 1, C - 1 = 0, donc
2F0(x) + B0 = 1
et là coment on trouve A0, B0 et F0 ??
Attendez, j'ai remplacé x par 1 dans l'équation x²F0(x) + x(A0-3F0(x)) + 2F0(x) + b0 - 1 = 0
et j'ai trouvé :
A0 + B0 = 1.
Est-ce bon ?
Regarde d'abord le coefficient de X², puis celui de X, puis enfin le terme constant.
Le coefficient de x² est le même que celui de x, c'est-à-dire 1... Sinon je ne comprends pas ce que tu veux dire...
mais j'ai les résultats :
A0 = 0
B0 = 1
F0 = 0
Est-ce cela ?
Oui c'est cela. Pour y arriver : on a AX²+BX+C=1 quel que soit la valeur de X
DONC :
-Le coefficient de X² doit être nul
-Le coefficient de X doit être nul
-Le coefficient constant doit être égal à 1.
Ici le coefficient de X² est F0 qui est donc égal à 0
Puis le coefficient de X doit être nul, donc A0=3F0. Puisque F0 est nul, A0 est nul.
Enfin le terme constant donne bien B0=1.
Tu peux maintenant appliquer la même méthode pour A1, B1 et F1
Merci bien ! C'est fastoche, finalement... Juste une question... Pourquoi le coefficient de x² et de x doit être nul ? pour que la tâche soit simpliste ?
La question suivante consiste à écrire une relation entre
An+1, An et Bn, puis une autre entre Bn+1 et An...
Bon sang, il vient d'où ce devoir ?! De Mars avec la découverte de l'eau salée ou quoi ???
Quel piste me proposeriez-vous, s'il vous plaît ?
Le coefficient est nul parce que "deux polynomes sont égaux ssi leurs coefficients sont égaux".
Ici le fait que ton égalité soit vraie pour tout x veut dire que les polynomes des deux cotés de ton égalité sont égaux. Or le membre de droite est constant, égal à 1.
Par exemple si je te dis de trouver les coefficients a,b,c tels que
ax3+5bx²+3a+c = ax+17 pour tout x,
que valent a,b et c ?
je ne sais pas, je n'ai jamais vu cela...
17/3 = a+c ?
ax^3 = 0 ?
5bx² = 0 ???
donc c = 17/3
a = b = 0 ??????
Si tu n'as jamais vu cela, alors prends des valeurs particulières de x bien choisies (puisque c'est vrai pour tout x). En commençant par x = 0 par exemple ...
Oui a=b=0 c'est bon. Ensuite on en déduit c= ?Envoyé par julien_4230
c=17.
Je peux résoudre avec un système de plusieurs inconnues pour différentes valeurs de x ?
Oui tu peux dans ce cas, car le problème te dit que l'égalité que tu cherches est vérifiée pour tout x.
As tu calculé A1,A2 et A3 etc. ?
Tout semble être okay...
maintenant il faut que je montre que :
an, bn, fn existent <=> an+1, bn+1, fn+1 existent. Ca ca semble être logique, puisque an, bn et fn existent POUR TOUT n€IN...
Il faut ensuite que je déduise de ces trois monstres existent, et que je trouve une satannée relation entre an+1, an et bn, puis une autre entre bn+1 et an......
Puis je dois montrer an + bn = 1
et que un = an + 1 est géométrique
et ENFIN déduire une expression de un, an et bn en fonction de n !!!!!
Du boulot pour 5, comme le nombre de "!" derniers... La fin n'est pas dure, juste les 2 relations de la 3eme question.... Pouvez-vous me donner le déclic s'il vous plaît ?
Voici la piste que je te propose :
-tu sais que xn=P(x)*Fn(x)+Anx+Bn
Essaye d'exprimer xn+1 sous la même forme et identifie terme à terme come nous avons fait précédemment.
mwais, je vais voir ceci..
merci ! Je reviens dès que j'ai un problème ^^, et vu que je n'ai pas de chance en ce qui concerne ces exercices, à tout de suite
lol
