suite de fonction

[invite07e3ae02]

Bonjour

Je dois etudier les convergences simple et uniforme des suites de fonction un(x) suivante:

1.sur [0;1/n], un(x) = nx
2.sur [1/n;2/n], un(x) = 2 - nx
3.sur [2/n;1], un(x) = 0

On me donne les indications suivantes pour la méthode:
Commencer par faire des dessins:représenter u2(x), u3(x), u4(x).
Montrer que un(x) converge vers la fonction nulle sur [0 ; 1]
Montrer que la convergence n'est pas uniforme en considérant un(1/n).


J'ai tracé les courbes
1.graphiquement je converge 0
2.graphiquement je converge a 2
3.graphiquement je converge a 0

Ensuite je vois pas comment "ecrire" ca? au niveau de la methode
Merci d'avance si qqun peux m'aider
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[inviteaf1870ed]

Pour voir que Un converge vers la fonction nulle, tu prends un espilon quelconque, et tu prends un x quelconque dans [0,1]. Tu montres ensuite que tu peux toujours trouver un N tel que UN(x)<epsilon, endistinguant les 3 cas.
Ensuite tu calcules Un(1/n)...et tu t'aperçois qu'il y a un problème....

[invite07e3ae02]

Merci pour ta réponse, par contre je ne comprend pas quand tu dis de prendre un epsilon qquonc...

Pour le calcul de un(1/n)

1.qque soit n un=1 sauf n=0
2.qque soit n un=1 sauf n=0
3.qque soit n un=0

[inviteaf1870ed]

Quelle définition as tu dans ton cours de la convergence simple d'une suite de fonctions ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07e3ae02]

La définition que j'ai c'est:

Soit (fn) n>=0 une suite de fonction définie sur A et f une fonction défine sur A.On dit que la suite de fonctions (fn) n>=0 converge simplement vers A,si pour tout x de A, la suite numérique (fn(x)) n>=0 converge vers f(x) dans R ou C.

x "appartient" a A, ε>0,N>=0 tel que si n>=N alors| fn(x)-f(x)|<ε

[inviteaf1870ed]

C'est exactement ce que j'ai utilisé. Tu veux montrer que, étant donné x, pour tout epsilon il existe un N tel que |fn(x)|<epsilon

[invite07e3ae02]

Ok, mais j'arrive pas a voir comment rediger ca

[inviteaf1870ed]

Ben tu prends un x quelconque, et tu montres que Un(x)<eps pour un certain N (indice regarde ce qui se passe pour N<2/x)

[invite07e3ae02]

Mais le x uniquement sur lintervalle [0;1]?

[inviteaf1870ed]

Tes fonctions ne sont pas définies ailleurs

[invite07e3ae02]

Merci pour ton aide, mais là ces cours de serie et suites c 'est vraiment une galère,j'essaye un peu tout là mais mais je pige pas ...