Suite et fonction ln

[invite37982ada]

Bonsoir,
J'ai un petit problème pour un exo de math.
On considère une suite (Un) de premier terme u(0)=2 avec u(n+1)=ln(1+2U(n))

On cherche à démontrer que la suite converge et à déterminer sa limite.

J'imagine qu'il faut calculer U(n+1)-Un=ln(1+2Un)-Un et démontrer que la suite décroît et comme l'on sait qu'elle est minoré, on conclue qu'elle converge. Le problème c'est que je n'arrive pas à le faire, je ne vois pas du tout ce qu'on peut dire de plus une fois que l'on a dit que U(n+1)-Un=ln(1+2Un)-Un

Merci pour tout.
-----

[invite57a1e779]

Bpnjuour, dans ce genre de problèmes, on écrit souvent et on établit le sens de variation de la suite par récurrence.

[mo56]

Il me semble bien que pour ce genre de suites, il faut etudier la fonction : f(x)=ln(1+2x). Si cette fonction est croissante, alors la suite est monotone (c'est un theoreme). Or on a bien u(1)<u(0), donc la suite est decroissante (et minoree), donc on a la convergence
Puis pour trouver la limite, Un et Un+1 ayant la meme limite, si L est la limite, on a : L=ln(1+2L), a resoudre

Il me semble que c'est comme ca qu'il faut proceder

[invite37982ada]

Merci beaucoup!! En effet, f(x)=ln(1+2x) est bien croissante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite770b3cad]

salut tt le monde
dsl j'ai pa compris comment ta conclu facilemen d'après "u(1)<u(0), donc la suite est decroissante" que la suite est décroissante.
peut étre il faut raisonner par recurence sur n et si on arrive à montrer ça donc le reste est facile.
en effet pour n=1 on a u(1)<u(0)
hypothèse de recurence supposons que c vrai juska l'ordre n et montron le pr n+1 ( i.e on a u(n)<u(n-1) )
il faut monter que u(n+1)<u(n)
on a d'après l'hypothèse 1+2*u(n)<1+2*u(n-1) la fonction ln(x) est croissante dès que x dépace 1 les termes de la suite est positive donc ln[1+2*u(n)]<ln[1+2*u(n-1)] ==>u(n+1)<u(n) d'ou u(n) est décroissante
et tu peux suivre ta démonstration

[mo56]

J'avais f croissante entraine (Un) monotone (donc decroissante ou croissante). Apres la comparaison entre les 2 premiers termes suffit. J'ai regardé rapidement ton message mais je pense que tu as demontre la proposition dont je pars.

[invite770b3cad]

ah bon ya une théoreme ?
dsl tu peux m'envoyé les hypothèse du théorème ??

[mo56]

Soit (Un) une suite recurrente (de type Un+1=f(Un)), définie de I dans I.
Si f est croissante sur I, alors (Un) est monotone.

Voila c'est tout. ( j'ai été cherché dans mon cours pour plus de sureté )