Matrice définie positive

[invitee75a2d43]

coucou me revoilou,

J´ai un problème d´algèbre intéressant, mais j´ai beau le retourner dans tous les sens... J´en ai déja résolu une partie. Il s´agit de la chose suivante:

Soit A un matrice inversible réelle de dimension n. Montrer que A^T.A est symétrique définie positive.

Pour la symétrie, c´est facile. De plus quand on observe le produit des deux matrices, on voit que les éléments diagonaux sont tous des sommes de carrés, donc la trace est positive.

De plus on le déterminant de A^T.A est strictement positif: c´est le carré du déterminant de A, non nul puisque la matrice est inversible

Comme le déterminant de A^T.A est le produit des coefficients de la forme quadratique diagonalisée, on en déduit que si on appelle (p,r) la signature de Q alors r est pair, de façon à ce que le produit reste positif. Si la matrice est de dimension 2, alors on a prouvé que r est nul. En effet, les deux coefficients vérifient:




Mais il s´agit de prouver que r est nul en toute dimension! C´est là que je bloque.

Si quelqu´un a une idée...

merci d´avance

Christophe
-----

[invitea1b8242a]

bonjour

je n'ai pas très bien compris: l'objectif final du problème c'est de montrer que r est nul pour toute dimenion ou bien de montrer que A est définie positive?

sinon tu pourrait faire avec X tel que (A.tAX/X)=0, (A.tAX/X)=//tAX//²=0 donc AX=0 d'ou X=0 (A étant inversible) donc A est définie positive

mais je ne suis pas sur que ce soit ça ton problème

cordialement

[invitee75a2d43]

désolé, je ne comprend pas ta formule.

Effectivement, il s´agit de prouver que AT.A est définie positive pour toute dimension de A. Donc, je pensais que c´est la même chose que r = 0, puisque r est le nombre de coefficients négatifs dans la forme quadratique diagonalisée.

Sorry, ça fait longtemps que je n´ai pas fait d´algèbre...

[invitea1b8242a]

désolé je me suis mal exprimé: j'ai trop l'habitude de confondre A et un de ses endomorphisme de R^n associé dans une base orthormal de R^n.

Prenons X dans Mn,1 tel que (tX)A.tA.X=0

alors (tX)A.tA.X= t(tAX).tAX=//tAX//² (par//.// je désigne la norme de Mn,1 associé au produit scalaire de Mn,1(X,Y)-> tX.Y
on a donc //tAX//²=0 d'ou tAX=0 donc X=0 car tA est inversible (si A est inversible). donc A est défini positive

X->tX.X est la forme quadratique associé au produit scalaire précédement défini

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec5eb4b89]

Je me lance, même si je doute un peu de ma solution...

Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si , pour tout x, (avec les dimensions qu'il faut...) . Ici, : soit dans , on pose . On a et donc : est symétrique, définie positive...

Ca marche comme ça ?

[invite986312212]

en gros oui, mais il faut être un petit peu plus soigneux
en fait tu as montré que A'A était semi-définie positive. Pour aller plus loin il faut tenir compte du fait que A est inversible et donc que x!=0 entraîne y!=0

[invite57a1e779]

en gros oui, mais il faut être un petit peu plus soigneux
en fait tu as montré que A'A était semi-définie positive. Pour aller plus loin il faut tenir compte du fait que A est inversible et donc que x!=0 entraîne y!=0

C'est "y=0 entraîne x=0" qui est plus particulièrement intéressant ici...

[invite986312212]

c'est la même chose? (j'utilise la notation informatique != signifie "est différent de")

[invite57a1e779]

c'est la même chose? (j'utilise la notation informatique != signifie "est différent de")

Je ne connassais pas cettte notation.

[invitec5eb4b89]

en gros oui, mais il faut être un petit peu plus soigneux
en fait tu as montré que A'A était semi-définie positive. Pour aller plus loin il faut tenir compte du fait que A est inversible et donc que x!=0 entraîne y!=0

Ah ben du coup, j'ai du mal... Est-ce que tu (ou l'un d'entre vous) connaitrais un bouquin qui détaille (avec des exemples, ce serait l'extase !) les différences (subtiles pour moi...) entre matrices :
- définie positive
- définie non positive
- définie non négative
- semi définie positive
Je crois que je vois à peu près en quoi tiennent ces subtilités, mais avec une référence, je serais rassuré !
Cdlt,
V.

[invite986312212]

Je ne connassais pas cettte notation.

elle nest pas du tout standard, j'avais la flemme d'utiliser la balise TeX et puis j'ai oublié comment on fait "différent" (\noneq ?)

[invite57a1e779]

elle nest pas du tout standard, j'avais la flemme d'utiliser la balise TeX et puis j'ai oublié comment on fait "différent" (\noneq ?)

En TEX c'est simplement \neq.
Le "plus standard", quand on a la flemme, est <>.

[invite986312212]

ah oui, <> c'est du pascal et != c'est du c

[invitee75a2d43]

Bonjour, c´est moi qui ai posé la question, et j´ai trouvé par hasard la réponse dans bouquin sous forme de théorème. Je le retransmet ici mot à mot de même que la démonstration:

Pour toute matrice A complexe, la matrice A*A est hermitienne et ses valeurs propres sont réelles et positives.

Démonstration: Il est évident que A*A est une matrice carrée hermitienne de taille n. Et on sait que les valeurs propres d´une matrice hermitienne sont réelles. Il reste à prouver qu´elles sont positives. Soit une valeur propre de A*A, et un vecteur propre associé tel que En multipliant cette équation par x, on obtient:



Donc la matrice est positive. Comme dans mon cas elle est inversible, le déterminant est non nul, donc chacune des valeurs propres est non nulle, donc strictement positive.

C´est ce qu´il me fallait.

[invitee75a2d43]

Hop la! j´ai une erreur de LaTeX. Il faut lire:

[invite57a1e779]

C'est exactement ce que eregion t'as répondu hier à 19h01, sans même passer par les valeurs propres...

[invitea8961440]

La matrice A.TrA est symetrique .A.TrA * est .. ATrA.* signifie transposèe.
Elle est positive et definie.

[invitee75a2d43]

C'est exactement ce que eregion t'as répondu hier à 19h01, sans même passer par les valeurs propres...

Oui, je sais, ne crois pas que je ne lise pas les messages de ceux qui se prennent le temps de me répondre. Mais d´abord j´ai eu un peu de mal à décripter le message, et puis par hasard, j´ai lu ce théorème en même temps