Propriété d'une matrice symétrique définie positive

[invite481af908]

Bonjour à tous,

Ma question est en fait très simple, c'est la démonstration de la réponse qui est plus compliquée

Ce que je désirerais savoir dans le cadre d'une démonstration plus grande, c'est si je peux dire qu'une matrice symétrique définie positive est forcément à diagonale dominante ? Et si oui, comment le prouver.

Merci beaucoup.

PS : ce que je cherche à démontrer en fait c'est que dans le cas d'une matrice symétrique définie positive on a :
VALABS(a[i,j])<RACINE(a[i,i].a[j,j]).

Je suis parti sur un raisonnement par contradiction qui semble aboutir au résultat, mais pour cela j'ai utilisé le fait que ma matrice A était à diagonale dominant. D'où ma question.
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[invitedf667161]

Salut, la question parait intéressante, je ne connaissais pas ce terme "à diagonale dominante".

Est-ce-que la définition en est l'inégalité que tu as donnée ? Si oui je ne comprends pas trop, tu es dans R ou C ? Si dans R j'ai un peu peur que tu prennes des racines de nombres négatifs. A moins que tu aies déjà diagonalisé la matrice, auquel cas, le fait qu'ube matrice diagonale à coeff positifs soit à diagonale dominante est évident.

Peut-être que "à diagonale dominante" se conserve par l'action de GLn, et donc encore une fois, c'est évident.

[invite481af908]

La formule que j'ai donné précédemment n'est pas la définition de diagonale dominante, c'est juste le sujet de mon problème.

La définition de diagonale dominante est la suivante :
diagonale dominante par ligne :
a[i,i]>SOMME(VALABS(a[i,j])) (somme pour j=1 à n et j différent de i).
diagonale dominante par colonne :
idem mais la somme se fait sur une colonne.

Dans le cas d'une matrice symétrique l'un et l'autre sont donc équivalents.

Je travaille dans R, mais la définition est telle que les a[i,i] sont forcément positifs, donc pas de problème avec la racine.

Merci de l'intérêt porté à cette question.

[invitedf667161]

Ok, merci pour ces précisions.

Je crois que, dans le cas ou tes coeff diagonaux sont positifs, l'inégalité que tu cherches à montrer provient du fait que ta matrice définit un produit scalaire, et donc que l'inégalité de Cauchy Schwarz est valable :

Prends i et j distincts, x le ième vecteur de la base canonique, y le jième, notons <.,.> le produit scalaire défini par ta matrice symétrique définie positive, et ||.|| la norme associée.

Alors | <x,y> | = a_ij et ||x||*||y|| = racine(a_ii*a_jj). L'inégalité de Cauchy Schwarz donne le résultat.

En espérant ne pas me tromper.

[A voir en vidéo sur Futura]