Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 4 sur 4

Propriété d'une matrice symétrique définie positive



  1. #1
    Ugo17

    Question Propriété d'une matrice symétrique définie positive


    ------

    Bonjour à tous,

    Ma question est en fait très simple, c'est la démonstration de la réponse qui est plus compliquée

    Ce que je désirerais savoir dans le cadre d'une démonstration plus grande, c'est si je peux dire qu'une matrice symétrique définie positive est forcément à diagonale dominante ? Et si oui, comment le prouver.

    Merci beaucoup.

    PS : ce que je cherche à démontrer en fait c'est que dans le cas d'une matrice symétrique définie positive on a :
    VALABS(a[i,j])<RACINE(a[i,i].a[j,j]).

    Je suis parti sur un raisonnement par contradiction qui semble aboutir au résultat, mais pour cela j'ai utilisé le fait que ma matrice A était à diagonale dominant. D'où ma question.

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : Propriété d'une matrice symétrique définie positive

    Salut, la question parait intéressante, je ne connaissais pas ce terme "à diagonale dominante".

    Est-ce-que la définition en est l'inégalité que tu as donnée ? Si oui je ne comprends pas trop, tu es dans R ou C ? Si dans R j'ai un peu peur que tu prennes des racines de nombres négatifs. A moins que tu aies déjà diagonalisé la matrice, auquel cas, le fait qu'ube matrice diagonale à coeff positifs soit à diagonale dominante est évident.

    Peut-être que "à diagonale dominante" se conserve par l'action de GLn, et donc encore une fois, c'est évident.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    Ugo17

    Re : Propriété d'une matrice symétrique définie positive

    La formule que j'ai donné précédemment n'est pas la définition de diagonale dominante, c'est juste le sujet de mon problème.

    La définition de diagonale dominante est la suivante :
    diagonale dominante par ligne :
    a[i,i]>SOMME(VALABS(a[i,j])) (somme pour j=1 à n et j différent de i).
    diagonale dominante par colonne :
    idem mais la somme se fait sur une colonne.

    Dans le cas d'une matrice symétrique l'un et l'autre sont donc équivalents.

    Je travaille dans R, mais la définition est telle que les a[i,i] sont forcément positifs, donc pas de problème avec la racine.

    Merci de l'intérêt porté à cette question.

  4. #4
    GuYem

    Re : Propriété d'une matrice symétrique définie positive

    Ok, merci pour ces précisions.

    Je crois que, dans le cas ou tes coeff diagonaux sont positifs, l'inégalité que tu cherches à montrer provient du fait que ta matrice définit un produit scalaire, et donc que l'inégalité de Cauchy Schwarz est valable :

    Prends i et j distincts, x le ième vecteur de la base canonique, y le jième, notons <.,.> le produit scalaire défini par ta matrice symétrique définie positive, et ||.|| la norme associée.

    Alors | <x,y> | = a_ij et ||x||*||y|| = racine(a_ii*a_jj). L'inégalité de Cauchy Schwarz donne le résultat.

    En espérant ne pas me tromper.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Matrice symétrique positive (DM Maths spé)
    Par pitite_anna dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 13/11/2007, 20h40
  2. matrice définie positive
    Par alex022 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 14/06/2007, 10h56
  3. déterminant d'une matrice symétrique
    Par Youseph dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 02/02/2007, 12h53
  4. valeurs propres d'une matrice symetrique
    Par titine_ dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 21/12/2006, 21h50
  5. matrice définie positive
    Par titine_ dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 20/12/2006, 13h28