Changement de variables sur des sommes

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous.

J'aurai une question concernant des changements de variables sur des sommes multiples.

Prenons l'exemple suivant :

(i et j varient de 0 à N-1)

Je pose maintenant un changement de variable comme ceci : i+j=u et i-j=v <=> i=(u+v)/2 et j=(u-v)/2
Le changement de variable est donc bijectif.

Alors ce que je me suis dit c'est que vu que tout est bijectif, on devrait avoir :



Mais par contre, ce qui pose problème c'est le calcul concret de cette somme.
Car sommer sur les couples (u;v) ce n'est pas forcément sommer sur u puis sommer sur v (on a pas forcément un "carré").

Ma question est donc : y a t'il un outil mathématique un peu comme le jacobien des intégrales qu'on utilise sur les sommes pour considérer une somme sur u et une somme sur v ?
Un outil pas trop compliqué à utiliser de préférence.

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Pas besoin d'outil. Pour des sommes finies, les bornes introduisent trop de contraintes pour que ce type de changement soit possible. Pour les séries, tu peux regarder les séries à double indice. Mais en tout cas, pas trop de règles générales.

A noter : sans les domaines de variations des indices, les notations que tu as utilisées n'ont pas de signification.

Cordialement.

[invite8f6d0dd4]

Salut

Mes indices i et j varient tout deux de 0 à N-1 par valeurs entières de façon indépendantes l'une de l'autre (la ""surface"" qu'ils couvrent forme un carré de coté N si on prend i en abscisse et j en origine).
(donc u+v va de 0 à 2*(N-1) par ex et u-v de -(N-1) à N-1 par valeurs entières, mais là on a plus une ""surface"" carrée ce qui complique le calcul)

Et en supposant que j'ai des séries, je ne comprend pas trop en quoi ça simplifie les choses ? J'ai tapé série à double indice mais je n'ai rien de concluant pour mon problème.

Merci bien

[invite8f6d0dd4]

Ah oui ok en fait si on passe aux séries, on perd les contraintes vu que N tend vers l'infini, donc on sommer sur (u;v) revient dans ce cas à sommer sur u puis sur v.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement.

Si la convergence ne pose pas de problème (par exemple s'il y a convergence absolue),

où k=i+j.

Par contre, sur des sommes finies comme celle dont tu parles, il faut réguler les variations de i+j de 0 à 2N-2 puis à 0. C'est parfois utile, mais compliqué. Et i-j ne joue pas de rôle particulier.

Dans ce domaine, les sommes ne fonctionnent pas comme des intégrales.

Cordialement.

[invite8f6d0dd4]

Merci beaucoup c'est parfait !!