Suite U(n+1)=2*U(n) + n

[invitefcf09e3a]

Bonjour,
Je cherche à exprimer U(n) en fonction de n, la suite étant définie ainsi: U(n+1)=2*U(n) + n
Est-ce que quelqu'un aurait une idée, une piste ?
Merci d'avance,
Florent
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[invitecbade190]

Salut :

Sauf erreur, si on pose : , alors équivaut à ( c'est une suite arithmético-géométrique ) qui donne :
car : , d'après la relation de récurrence que tu as donnée.
Par conséquent : Poursuis le calcul seul. Tu n'as pas donné de valeur à en fait.

[inviteb3412e7c]

L'idée est bonne Chentouf, moi je trouve :

Si on pose on obtient et donc et il s'ensuit que et avec on a .

[invitecbade190]

Oui, effectivement @arttle, la méthode qu'on a suivi tous les deux ressemble à la méthode de dérivation, en faisant le bilan suivant :
Au début, on a posé : , et est l'opérateur de dérivation, cela nous a permis de raffiner l'expression , en une expression plus linéaire, de la forme : puis en faisant une deuxième dérivation, comme tu l'as fait en posant : , on obtient une égalité beaucoup plus linéaire et donc plus simple, celle que tu as trouvé : .
En bref, on a fait :





.
Ensuite, on fait une démarche réversible pour trouver en fonction de , en appliquant cette fois çi l'anti-dérivation ( Intégration ) : , ce qui donne le résultat.
Je ne sais pas si cette méthode marche toujours pour toute suite récurrente pour la simplifier.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

J'ai fait une petite coquille. Il ne s'agit pas d'équivalences mais simplement d'implications , car il y'a la démarche réversible qui s'ensuit et qui consiste à trouver des primitives pour arriver à la fin à l'expression de .

[invitefcf09e3a]

Salut :

Sauf erreur, si on pose : , alors équivaut à ( c'est une suite arithmético-géométrique ) qui donne :
car : , d'après la relation de récurrence que tu as donnée.
Par conséquent : Poursuis le calcul seul. Tu n'as pas donné de valeur à en fait.

Je trouve

et ensuite

Merci pour le coup de pouce!

[inviteb3412e7c]

Oui, effectivement @arttle, la méthode qu'on a suivi tous les deux ressemble à la méthode de dérivation, en faisant le bilan suivant :
Au début, on a posé : , et est l'opérateur de dérivation, cela nous a permis de raffiner l'expression , en une expression plus linéaire, de la forme : puis en faisant une deuxième dérivation, comme tu l'as fait en posant : , on obtient une égalité beaucoup plus linéaire et donc plus simple, celle que tu as trouvé : .
En bref, on a fait :





.
Ensuite, on fait une démarche réversible pour trouver en fonction de , en appliquant cette fois çi l'anti-dérivation ( Intégration ) : , ce qui donne le résultat.
Je ne sais pas si cette méthode marche toujours pour toute suite récurrente pour la simplifier.
Cordialement.

Ah! Comme j'aimerais bien en savoir plus sur ces opérateurs discrets que sont la dérivation et l'intégration de stieljes...

Merci pour le coup de pouce!

C'est un plaisir renouvelé à chaque fois

[leon1789]

Je pense que c'est faux : U_0 = 2 donne U_1 = 4 (avec la formule de l'énoncé) et U_1 = 2 (avec cette formule fausse) ?