Analyse 2*ln(|x|)+1/x-x

[invite0e29aa7d]

Bonsoir,

L'analyse de cette fonction me pose souci, voici l'énoncé :

Soit f définie par

1. Donner le domaine de définitition de f
2. Etudier le domaine de décidabilité de f sur son domaine de définition
3. Etudier les variations de f
4. Montrer que pour tout , on a


1. Premièrement,
2. De même, le domaine de variations est

Mais comment est-ce qu'on le montre rigoureusement ?

3. Détermination de la dérivée de f :


Lorsque j'étudie son signe j'obtient pour tout x . Cependant, cela ne correspond pas aux limites calculées au bornes de f ni a son graphe visualisé via google en tapant : 2*ln(abs(x))+1/x-x

Comment déterminer le signe de ?

4. Avez-vous une piste ?
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[leon1789]

domaine de décidabilité (comme c'est écrit) ou domaine de dérivabilité ?

pour l'étude de f', il faut bien voir que f'(x) < 0 lorsque x est proche de 0, ou quand x est au voisinage de +- infini.

Montre comment tu étudies le signe de f'(x) pour x > 0 et x < 0 (because |x|...)

[invite0e29aa7d]

Exact, domaine de dérivabilité

D'accord, je le vois pour ±∞ mais pas pour 0

3. Etude du signe de f'(x) (erroné) :


Donc pour tout

Comment pourrais-je montrer convenablement le domaine de définition et celui de dérivabilité ?

[leon1789]

3. Etude du signe de f'(x) (erroné) :

ok jusque là

Si tu relis cette ligne, tu vois que tu es train de dire "on a cela ou son contraire", ce qui évidemment sera toujours vrai


Il serait mieux d'écrire
( et ) ou ( et )
Et maintenant, tu as deux systèmes à deux inéquations à résoudre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Encore mieux (ie sans erreur de signe !) :
( et ) ou ( et )

[invite0e29aa7d]

D'accord, je reprend là :


Donc pour tout x négatif car existe seulement pour 1

Où est l'erreur ?

Et on met le signe - ici car le saute et devient un x ?

[leon1789]

ok

aïe, trop rapide pour le premier système où, attention, x est négatif...

On y est presque.

[gg0]

Bonjour.

Une remarque méthodologique : Pour étudier le signe de f', il est pratique de factoriser (règle des signes, tableau si nécessaire). Factoriser une somme de fraction, c'est les additionner par réduction au même dénominateur (ici x²). Il est plus simple d'étudier le signe de f' pour x<0, puis pour x>0. Dans chaque cas, on est ramené à l'étude d'un trinôme du second degré.

Cordialement.

[invite0e29aa7d]

Mille merci à vous deux !

Je reprend:

en réduisant au même dénominateur
Alors pour étudier le signe de f'(x) on étudie le signe du numérateur car le dénominateur est strictement positif

• Premier cas x<0
  on a
  -1 est racine double évidente
  D'après le signe devant le x^2, pour tout
• Deuxième cas x>0
  on a en multipliant par -1 et en factorisant
  1 est racine double évidente
  D'après le signe devant le x^2, pour tout

Donc pour tout

D'après son graphe, ça n'a pas l'aire d'être vraie :
https://www.google.fr/search?client=...bs(x))%2B1/x-x

[gg0]

Dans les deux cas, tu as oublié l'effet d'un changement de signe (multiplication par -1) sur les inégalités.

Mais surtout, en écrivant -(x-1)² ou -(x+1)², le signe est évident !!

On m'a appris en première que factoriser la dérivée simplifie le travail. Tu ne le sais toujours pas, dommage ! Ni le signe d'un trinôme ("-1 racine double" et coefficient de x² négatif, donc ...).

Cordialement.

[invite0e29aa7d]

Je ne comprend pas à quel moment je multiplie par -1

[leon1789]

Tu ne trouves pas cela un peu bizarre ?

[invite0e29aa7d]

Merci mille fois!

Qui peut me guider pour la question numéro 4 ?

4. Montrer que pour tout , on a

[Médiat]

Bonjour,

Vous avez étudié tout ce qu'il faut pour déterminer le signe de ...

[invite0e29aa7d]

Pour tout

Comment prouver que cette quantité est supérieur à 0 ?

[invite7d367980]

Wow... et sur ça c'est niveau Terminale ES!

[invite0e29aa7d]

D'acc

Mille merci !

Have fun