Encore de la physique: Justification a priori de SU2 comme groupe de symétrie du spin

[invitea47ed71f]

Bonjour,

C'est plus une question de physique que de maths, mais la poser ici ne me semble pas idiot:


Je me demande s’il est possible de justifier a priori (c’est-à-dire : sans recourir à l’expérience en disant « ça marche très bien comme ça ») que SU2 doit nécessairement être le groupe de symétrie agissant sur l’espace vectoriel définissant le spin, en phy q.


Voici comment je vois les choses :

Nous voyons autour de nous (ie : dans toutes les expériences que nous faisons) que SO3 est une groupe de symétrie de l’univers, des lois physiques, …
Quand on fait de la physique quantique, on commence par tout expliquer via la fonction d’onde, qui doit nous donner une sorte de « probabilité de présence » en tout point. Il est très naturel de passer de l’action de SO3 sur les vecteurs à l’action de SO3 sur les fonctions d’onde, et les fonctions d’onde vivent toujours dans une représentation de SO3 (et les lois de la phy q reste invariantes par ce groupe).

Mais, avec l’expérience de Stern et Gerlach, on se rend compte que ce n’est pas tout : il existe d’autres degrés de libertés « cachés » pour les particules, en plus de la seule position, que l’on choisit de nommer « spin ».
Comment décrire ce nouveau degré de liberté … il semble logique de procéder de la même manière : jusqu’à présent, tous les degrés de libertés de nos objets physiques sont représentés dans un espace vectoriel sur lequel SO3 agit : le spin ne va pas faire exception.
Il semble aussi logique (enfin ça ne me choque pas) de regarder les représentations irréductibles pour les particules « élémentaires ». Il suffit donc de classifier toute les représentations irréductibles de notre groupe de symétrie et de choisir la plus simple permettant d'expliquer tous les phénomènes que l'on observe.
Mais je ne vois pas trop pour quelle raison SO3 se transforme en SU2 entre temps...
Certes, SU2 est « un revêtement d’ordre 2 de SO3 », SU2 et SO3 sont les mêmes autour de l’identité, …
Mais ça me semble des arguments plus mathématiques que physiques.

Peut être que, sachant que l'on doit avoir SO3 comme groupe de symétrie de "beaucoup" d’expériences, il nous faut un groupe contenant SO3. Et que tout action de SO3 sur un ev V doit pouvoir s'étendre à une action de SU2 sur ce même V: Est-ce vrai, est ce que cela suffit pour caractériser SU2 (et SO3)?

Merci d'avance, j’espère ne pas trop dire de bêtise: mes cours de théorie des groupe s'éloignent à grands pas!
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[invite93e0873f]

En basant la mécanique quantique sur, par exemple, les axiomes de von Neumann, nous associons à un système physique un espace de Hilbert complexe, un état « précis » du système étant alors la donnée d'un sous-espace unidimensionnel (complexe). Ainsi, deux vecteurs (non nuls) différant par la multiplication par un nombre complexe représentent un même état. Dans le cadre de cette association, si un groupe agit sur le système physique, nous nous attendons à ce que le groupe agisse aussi sur l'espace des états, c'est-à-dire sur l'espace projectif complexe approprié. Ultimement, nous voulons donc étudier les représentations projectives irréductibles dudit groupe ; cela est équivalent à étudier les représentations linéaires irréductibles du revêtement universel dudit groupe.

Plus concrètement, les représentations projectives irréductibles de SO(3) correspondent aux représentations linéaires irréductibles de son revêtement universel, à savoir SU(2).

[azizovsky]

Bonsoir, de mon point de vue physique, on prend un ballon (sphère), sur un grand cercle 'géodésique', on fait passer une ficelle, avec cette même ficelle, on peut construire deux cercle orthogonaux et leurs longueurs est égale à celle du grand cercle , où chaque point du grand cercle à deux point sur les deux cercle (projection sphérique si j'ose dire) si on fait une projection des trois cercles sur un plans, on 'a trois segments qui se rencontrent en même point, on peut écrire or les rayons ou segment sont en réalité des cercles qui peuvent êtres décrite par des nombres complexes de modules càd :


à ton imagination géométrique .....

[azizovsky]

si tu prend deux petits cercles sur un point du grand 'cercle' , il y'a aussi celle à l'opposé, sur laquelle on peut fixer les deux 'petits' cercles, on dit que les matrices U et et -U ont même image R_{U}=R_{-U}.

[A voir en vidéo sur Futura]