Hypothèse de "smoothness", algèbre de Lie

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

dans mon livre de QFT (Maggiore), on peut lire approximativement :

"By the assumption of smoothness, for infinitesimal, i.e. in the neighborhood of the identity element, we have

où les sont les générateurs."

Je me demande ce que veux dire exactement smoothness. Je sais que pour une fonction, c'est quelle est dérivable à un certain ordre. Un "smooth operator" est défini dans le Reed & Simon IV, mais la définition est assez compliqué et je n'ai pas le temps de la comprendre.

En gros, j'imagine que ce que Maggiore veut dire, c'est qu'on peut exprimer l'opérateur en série. Je ne crois pas que de dire "l'opérateur doit être infiniment différentiable" soit très adapté comme affirmation (si l'opérateur est la dérivée elle même, ça fait bizarre à dire). D'autre part, dans le livre de Kato (Perturbation theory for linear operators), il formule une condition (pour l'expansion en série) basée sur la norme de l'opérateur.

Voilà mes questions:
1- Comment dit-on en français : "smoothness"?
2- Est-ce que l'hypothèse est liée à l'espace de définition de l'opérateur, ou bien à l'opérateur lui-même?
3- À ce sujet, y a-t-il toujours un lien avec la dérivée? Y a-t-il un lien quelconque avec la norme d'un opérateur?

Quelqu'un pour vulgariser tout ça à un physicien?

Merci infiniment,

Simon
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[invite6de5f0ac]

Bonsoir,
"smooth" signifie "différentiable"... en principe.

Comme ça ne veut pas dire grand'chose en soi, et qu'il s'agit d'un bouquin de Physique, ça doit être interprété comme "différentiable à un ordre suffisant pour que mes calculs aient un sens". En pratique, de classe ou , i.e. analytique, i.e. développable en série entière.

Oui, c'est un peu malhonnête, mais si on veut pouvoir caluler sans trop s'embêter avec des singularités partout (c-à-d éviter les cas pathologiques) autant se faciliter le boulot dès le départ, non? Il y aura bien d'autres joyeusetés par la suite...

Et puis, beaucoup d'auteurs exigent qu'un groupe de Lie soit une variété analytique. Donc, eux non plus n'ont pas de scrupules.

Après, il y a effectivement des conditions sur la norme de l'opérateur pour que la série soit effectivement convergente, mais là, comme ça, je ne les ai pas en tête.

-- françois

[invite8ef93ceb]

Merci beaucoup François.

De ton côté, ne trouve tu pas bizarre d'exiger que l'opérateur dérivé (par exemple) soit infiniment différentiable?

C'est seulement un exemple qui m'est venu à l'idée et qui m'a fait douté que smoothness était équivalent à "différentiable".

Peut-être que je manque juste un peu d'intuition.

Salutations,

Simon

[invite6de5f0ac]

Merci beaucoup François.

De ton côté, ne trouve tu pas bizarre d'exiger que l'opérateur dérivé (par exemple) soit infiniment différentiable?

C'est seulement un exemple qui m'est venu à l'idée et qui m'a fait douté que smoothness était équivalent à "différentiable".

Peut-être que je manque juste un peu d'intuition.

Salutations,

Simon

Bin non... c'est pas justement ça que ça veut dire, "indéfiniment différentiable"?

Ou alors, rassure-moi: qu'est-ce que tu appelles l'opérateur dérivé?

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef93ceb]

Ou alors, rassure-moi: qu'est-ce que tu appelles l'opérateur dérivé?

Disons, on oublie les groupes. J'ai un opérateur D qui dépend d'un paramètre et je veux en faire l'expansion en série.

Si D=d/dx, un opérateur défini dans un espace de dimension infinie. Alors je ne comprends pas, dans ce cas, comment appliquer "doit être infiniment différentiable" à l'opérateur D. En d'autres mots, je ne visualise pas trop bien la série de taylor de D=d/dx. (peut-être que l'écriture est un abus de language, et qu'on doit garder à l'esprit que l'opérateur agit sur quelque chose, dans la série?)

C'est pourquoi je parlais de norme. On peut montrer que l'expansion en série de D fait du sens en utilisant la définition de sa norme.

Cela dit, j'ai l'impression que dire "il faut que l'opérateur soit infiniment différentiable" (l'hypothèse smoothness) est moins général que de dire "il faut que la série existe".

C'est plus clair?

Merci!

Simon

[invite6de5f0ac]

Je crois que je pense commencer à comprendre. Autant dire que j'aimerais confirmation...

Bon, il s'agit bien de MQ, d'une manière ou d'une autre? Ce n'est pas ma spécialité (sinon je serais déjà prix Nobel du Groland), mais bon.

Tu as des opérateurs d/dx, d/dy, d/dz et peut-être même d/dt, définis sur un espace de Hilbert (typiquement, l'espace des fonctions d'onde, en MQ "restreinte"). Et puis plein d'autres opérateurs différentiels.

Ton Hilbert a trop de dimensions, mais tes fonctions ne dépendent que d'un nombre limité de variables (2n pour un système à n degrés de liberté, dans le formalisme hamiltonien classique).

Mais tes opérateurs ne sont pas définis sur un espace euclidien... Tu dois donc considérer d/dx comme un champ de dérivations , c-à-d comme

avec pour et c'est par rapport à que tu dérives! le fait que d/dx soit (algébriquement) une dérivation, tu t'en contrefiches à la limite... ça te donne juste des relations de fermeture de l'algèbre des opérateurs, style D(fg) = D(f)g + fD(g), mais absolument rien sur le comportement topologique de ces opérateurs...

Et avec un peu de bol tu apprendras que les principaux nombres quantiques permettent de repérer les classes de cohomologie symplectique de tes opérateurs, mais commence par digérer le formalisme de base (quoique la QFT, je ne trouve pas ça trop basique).

-- françois

[invite8ef93ceb]

Bon, il s'agit bien de MQ, d'une manière ou d'une autre?

Justement, oublions que c'est de la MQ.

Si je dis que je fais l'hypothèse de smoothness sur un opérateur, est-ce que cette hypothèse fait du sens pour tous les opérateurs possibles et imaginables?

Si je prends un opérateur particulier, D=d/dx, est-ce qu'il fait du sens de faire l'hypothèse de différentiabilité sur cet opérateur?

Par exemple, je souhaite que D soit infiniment différentiable. Je peux alors l'exprimer en série de Taylor?

Question: D=d/dx est-il infiniment différentiable?

Supposons que oui, je ne crois pas que l'hypothèse de smoothness soit suffisante pour l'exprimer en série. Selon moi, il faut en plus vérifier que la série converge. Et pour cela, la seule méthode que je connais est celle impliquant la norme de D. On coupe la série à un ordre arbitraire n, et on vérifie que le reste est borné. Cependant, le critère de la norme implique qu'on fasse agir l'opérateur sur un vecteur quelconque de l'espace vectoriel. (||D||=sup||Dx||/||x||)

Question: Cela fait-il du sens de développer en série l'opérateur D=d/dx? Entre autre, on développe D autour de quel point? D ne peut pas prendre de valeur... Ce point m'embête beaucoup.

Pour résumer: mon prof fait l'hypothèse de la smoothness pour faire l'expension en série de D (et il me semble qu'à ce moment dans son livre, D est tout à fait quelconque). Je me demande si ça s'applique à tous les opérateurs, et si dans tous les cas l'hypothèse de smoothness est suffisante pour considérer que la série de D est égale à D.


Salutations,

Simon

[invite6de5f0ac]

Là, franchement, tu commences à me faire douter...

J'ai épluché tous mes bouquins sur le sujet, et il semble bien que la convergence de la série de Taylor soit carrément posée en postulat! Série de Taylor sur la base des évidemment, donc pour un espace d'opérateurs de dimension finie... qui d'ailleurs peuvent opérer sur un espace de dimension infinie, ce qui n'a rien à voir.

L'exposé le plus clair que j'ai trouvé est dans "Groupes de Lie, Représentations Linéaires et Applications", par Guy PICHON, chez Hermann. Section II.4 pp.45 sqq., "Opérateurs différentiels invariants à gauche".

Il ne justifie pas l'hypothèse d'analyticité (qui pour lui comme pour la plupart des autres fait partie de la définition d'un groupe de Lie) mais le raisonnement et les définitions sont limpides.

Si tu n'as pas accès à ce bouquin, passe moi un message privé, je pourrai te transmettre une copie scannée de ce passage.

-- françois

[invite8ef93ceb]

il semble bien que la convergence de la série de Taylor soit carrément posée en postulat!

Effectivement, aucun de mes livres de physique n'en discute.

Disons, peut-être que l'hypothèse de smoothness sous-entends que l'opérateur n'est pas quelconque, mais qu'il est la représentation d'un groupe de Lie (en tout cas, ça ressemble à ça, la section s'appelle Groupes de Lie). Dans ce cas, puisqu'un groupe de Lie est à la fois une variété différentiable, l'ensemble des opérateurs constituant la représentation a forcément des propriétés qui, peut-être, laissent penser que la dite série de Taylor converge.

Mais tout ça est d'un niveau un peu élevé pour moi. J'ai seulement eu un cours (4h) dans toute ma vie où mon prof a dit "variété différentiable".

L'exposé le plus clair que j'ai trouvé est dans "Groupes de Lie, Représentations Linéaires et Applications", par Guy PICHON, chez Hermann. Section II.4 pp.45 sqq., "Opérateurs différentiels invariants à gauche".

Ok, de mon côté, c'est Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, qui justifie très rigoureusement l'idée de faire l'expansion en série d'un opérateur tout à fait arbitraire. Mais, pour le lien entre "opérateurs constituants une représentation du groupe de Lie" et convergence de la série de Taylor, je ne trouve aucune information.

Bon, je pense que je vais arreter un peu de me casse la tête avec ça. J'ajoute un commentaire dans mes notes personnelles et je regarderai ça quand j'aurai plus de temps.

Merci encore pour ton aide François!

Avec mes plus cordiales salutations,

Simon

[invite6de5f0ac]

Disons, peut-être que l'hypothèse de smoothness sous-entends que l'opérateur n'est pas quelconque, mais qu'il est la représentation d'un groupe de Lie (en tout cas, ça ressemble à ça, la section s'appelle Groupes de Lie).

Je crois que c'est bien ça. Ce qui m'énerve, c'est que tout me paraissait clair quand je l'ai appris (il y a quelques années quand même) et que maintenant ça l'est beaucoup moins. Mais à l'époque j'étais plongé dans le truc en permanence.

Cordialement,

-- françois