Théorie des schémas.

invitecbade190 · 09/10/2015, 21h53

Bonsoir à tous,

Soit $\text{[math]}$ un anneau commutatif unitaire, et $\text{[math]}$ le spectre de $\text{[math]}$ .
On définit sur $\text{[math]}$ un préfaisceau d'anneaux $\text{[math]}$ comme suit :
Si $\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ , soit : $\text{[math]}$ .
On pose : $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , on prend pour morphisme de restriction le morphisme canonique : $\text{[math]}$ .

Questions :

- Pourquoi : $\text{[math]}$ ?.
- Pourquoi : $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 09/10/2015, 22h51

Pour la première question :
D'une part, on a : $\text{[math]}$ et de l'autre part, on a : $\text{[math]}$ , si on identifie $\text{[math]}$ avec son idéal premier correspondant $\text{[math]}$ .
Je n'arrive pas à faire le lien entre les deux.

invitecbade190 · 18/10/2015, 17h51

Bonjour à tous,

J'ai lu que la notion de variété quasi-projective généralise la notion de variété affine et la notion de variété projective. A quoi ressemble concrètement une variété quasi - projective ? Bref, qu'est ce que c'est que : variété quasi - projective ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 22/10/2015, 15h55

Une variété quasi-projective est un ouvert d'une variété projective.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 22/10/2015, 16h50

Merci.
Pourquoi alors, une variété affine, en tant que variété quasi - projective, est un ouvert d'une variété projective ?
Merci d'avance.

invite5357f325 · 22/10/2015, 18h14

Si X est affine dans A^n, et que Y est la clôture projective de X alors X = Y ∩ A^n et donc X est bien un ouvert d'une variété projective.

invitecbade190 · 22/10/2015, 18h30

Dur de comprendre ce que tu écris, mais ça m'inspire plein de choses :

Pour moi : $\text{[math]}$ est affine dans $\text{[math]}$ signifie que : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ - algèbre de type fini.
$\text{[math]}$ est la clôture projective de $\text{[math]}$ est la plus petite variété projective contenant $\text{[math]}$ , non ?
$\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ signifie que : $\text{[math]}$ est ouvert de qui ? J'ai l'impression qu'ici, tu fais allusion à la topologie induite, alors, je ne sais pas qui est l'espace et qui est le sous espace, et qui est la topologie et qui est la topologie induite ?
Merci d'avance pour ton éclairage.

invite5357f325 · 22/10/2015, 18h45

La clôture projective de X, c'est juste l'adhérence de l'image de X par un plongement A^n -> P^n.

invitecbade190 · 22/10/2015, 18h54

Peux tu m'expliquer pourquoi $\text{[math]}$ est un plongement ?
Merci d'avance.

invite5357f325 · 22/10/2015, 19h01

D'abord un plongement A^n -> P^n n'est pas unique. Habituellement on fixe une coordonnée homogène xi et on envoie A^n sur le complémentaire de Hi, où Hi est l'hyperplan d'équation xi = 0. C'est la base d'un cours d'introduction à la géométrie algébrique, donc sans doute fait dans n'importe quel PDF/livre.

invitecbade190 · 22/10/2015, 19h14

Merci. Alors, le plongement est : $\text{[math]}$ qui est continue.
$\text{[math]}$ est affine dans $\text{[math]}$ .
On note : $\text{[math]}$ sa clôture projectif.
D'après tes affirmations : $\text{[math]}$ .
Or, $\text{[math]}$ est fermé, donc, $\text{[math]}$ est fermé, mais, nous, on cherche s'il est ouvert pas fermé.
Peux tu corriger ce que tu as écrit, ou bien de me corriger moi si je me suis trompé ?
Merci d'avance.

invite5357f325 · 23/10/2015, 09h33

X est bien fermé dans A^n, mais ça ne l'empêche pas d'être une variété quasi projective. Relis mon premier message, A^n n'est pas une variété projective.

invitecbade190 · 23/10/2015, 12h10

Merci petrifie.
Pourquoi si $\text{[math]}$ est un anneau commutatif unitaire, alors : $\text{[math]}$ est un plongement ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 23/10/2015, 12h16

Envoyé par petrifie

X est bien fermé dans A^n, mais ça ne l'empêche pas d'être une variété quasi projective. Relis mon premier message, A^n n'est pas une variété projective.

Oui, j'ai compris ça hier avant de dormir.
En fait, le plongement $\text{[math]}$ identifie $\text{[math]}$ avec un hyperplan de la forme : $\text{[math]}$ qui est un ouvert ( principal ) de $\text{[math]}$ .
De même, le plongement : $\text{[math]}$ identifie $\text{[math]}$ avec un ouvert de $\text{[math]}$ de la forme : $\text{[math]}$ pour la topologie induite, avec : $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ .

invitecbade190 · 23/10/2015, 14h19

En fait, pour ce qui concerne ce que j'ai appelé plongement : $\text{[math]}$ , je pense qu'il faut supposer : $\text{[math]}$ un anneau gradué, non ?
Ensuite, d'après mon cours, $\text{[math]}$ est un sous ensemble de $\text{[math]}$ , par définition. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ? Donc, $\text{[math]}$ n'est pas un plongement, non ?.
Or, si on pose : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ : un anneau unitaire commutatif, on a dit, d'après mon cours, que : $\text{[math]}$ n'est donc pas un plongement. Or : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et donc par conséquent : $\text{[math]}$ n'est pas un plongement, ce qui est contradictoire avec nos premieres constations que : $\text{[math]}$ est un plongement. Où est l'erreur ?
Merci d'avance.

invite5357f325 · 23/10/2015, 15h13

Comment veux tu plonger A^n dans P^n-1 ?

invitecbade190 · 23/10/2015, 15h30

Je m'excuse : $\text{[math]}$ , je n'ai pas vu ça. Peux tu répondre à ma question maintenant petrifie ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 23/10/2015, 16h13

Oui, c'est vrai : $\text{[math]}$ n'est autre que : $\text{[math]}$ .

Edit : Comment établir alors, que : $\text{[math]}$ est un plongement ?

invitecbade190 · 23/10/2015, 19h59

Bonsoir,

Une autre question à vous poser :

Est ce qu'un schéma projectif est localement isomorphe à $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un anneau unitaire commutatif ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 24/10/2015, 11h01

Salut :

Pour ce qui concerne le plongement : $\text{[math]}$ , j'ai une preuve topologique, mais je préfère avoir une autre preuve mais algébrique, en utilisant les idéaux premiers homogènes du spectre homogène.
Voici la démo topologique :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , non ?
Connaissea vous une autre preuve, mais cette fois çi algebrique ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 24/10/2015, 14h08

Bonjour à tous,

On sait qu'un schéma est localement un schéma affine. Par analogie, quel objet est localement un schéma projectif ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 28/10/2015, 11h50

Salut à tous,

Une question qui me taraude depuis longtemps :

Soit $\text{[math]}$ un corps.
Soient $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ - algèbre de type fini, et $\text{[math]}$ son spectre.
Si $\text{[math]}$ , alors, l'évaluation : $\text{[math]}$ induit un plongement $\text{[math]}$ qui fait de $\text{[math]}$ une extension de $\text{[math]}$ .
D'après mon cours, $\text{[math]}$ semble désigner à la fois un schéma et un foncteur : $\text{[math]}$ pour toute extension $\text{[math]}$ .

Ma question ( toute bete ) est de savoir si pour tout extension $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est un sous objet de du schéma $\text{[math]}$ , c'est à dire si $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$ ? et pourquoi ?

Merci d'avance.

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