Ptit exo d'arithmétique

[invite6dc5812c]

Bien le bonjour,
Alors voilà j'ai un petit exo d'un long dm où je suis bloqué.
Il faut que je montre que si a divise b^2 - b avec a et b entiers non nuls alors a divise b^n - b.
En traduisant la division on peut facilement voir que b^2 congrue à b modulo a mais après je reste muet. Si vous pouviez juste m'indiquer la marche à suivre j'en serais grandement reconnaissant merci

Cordialement
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[invitecbade190]

Salut :

Sauf erreur de ma part :
Tu as : .
Donc : : .
Par transitivité de la relation de congruence : .

Cordialement.

[invite6dc5812c]

Oui je ne l'avais pas vu. Merci pour ton aide

[leon1789]

sans récurrence :
(pour n>1)
si a divise alors évidemment a divise

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Ah oui, c'est vrai, je n'ai pas pensé à ça :
Tu as : .
Cela veut dire que : .
Et donc :
Et donc,
C'est à dire : .


Edit : La récurrence marche aussi :

Pour : , on a l'initialisation :
Soit : :
Supposons que : , et montrons que : .
En effet : .
et puisque : , et par transitivité : .
D'où le résultat.

[invite6dc5812c]

Oui merci personnellement je l'ai fait par récurrence avec votre message précédent merci encore