Anneaux de François

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

J'avais, il y a quelque temps, lancé un thread sur ce forum, (où j'étais encore gratifié du "grade" nouveau, c'est pour dire) que j'ai un peu perdu depuis... Comme j'avais eu des réponses sympa à l'époque, j'aimerais faire le point.

Le problème de base est, quels sont les anneaux qui ont pour corps des fractions (un corps (canoniquement) isomorphe à) ? Est-il possible d'en donner une classification? Même question avec au lieu de .

Au vu des Bourbaki d'Algèbre et Algèbre Commutative, je m'aperçois qu'il y a tout un bestiaire d'anneaux selon les besoins. Il y a un très joli dépliant à la fin du chapitre 7 d'Algèbre Commutative, qui décrit la hiérarchie en question: anneaux de valuation discrète, donc intègres, ou principaux, ou de Dedekind ou factoriels, éventuellement noethériens ou artiniens, peut-être de Krull, donc intégralement clos...

Pour les connaisseurs, l'arbre en question fait ressembler l'arbre de MFC ou de Borland C++ à une steppe stérile.

Donc, je vais utiliser la méthode Bourbakiste.

Définition (0): On appelle anneau de François tout anneau dont le corps des fractions est (isomorphe à) .

Oui, mais là c'est trop vulgaire. Ça sent à mille kilomètres le truc prévu ad hoc. Alors on procède en deux temps:

Définition (1): Un anneau filtré est un anneau , muni d'une suite filtrante d'idéaux .

Pourquoi des idéaux? Parce que ça présente plein de propriétés formelles proches de celles que l'on va vouloir obtenir à la définition suivante. Pourquoi une suite filtrante? Parce que personne ne se souvient de ce que c'est en vrai (relisez Bourbaki, notamment la définition d'une application dans les touts premiers chapitres, vous comprendrez votre bonheur... de ne jamais avoir eu à l'apprendre!)

Et puis, le fait que je sois obligé d'utiliser LaTeX pour écrire une déf' préliminaire est plutôt bon signe.

Définition (2): Un anneau filtré est appelé anneau de François, si son insertion (injection canonique) dans son corps des fractions est un homéomorphisme.

La topologie de l'anneau est évidemment celle induite par la filtration. Ah, là oui, ça en jette... Et on peut même ajouter,

Définition (3): Un anneau de François est dit rationnel (resp. réel) si son corps des fractions est homéomorphe à (resp. ).

Voilà. Je vous laisse le soin d'énoncer et de démontrer tous les théorèmes de caractérisation auxquels on s'attend (exercice trivial laissé au lecteur, comme on dit dans les bouquins sérieux).

Je n'aurai peu-être pas fait avancer la Science, mlais j'aurai gangé une petite place dans le bestiaire des anneaux...

-- françois
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[invite52c52005]

Je n'aurai peu-être pas fait avancer la Science, mlais j'aurai gangé une petite place dans le bestiaire des anneaux...

On te décernera le titre de ... seigneur des anneaux.

Je sais, elle était facile, mais je n'ai pas pu résister.

[invite6de5f0ac]

On te décernera le titre de ... seigneur des anneaux.

Je sais, elle était facile, mais je n'ai pas pu résister.

Et quand je pense à la maîtrise de moi que j'ai dû déployer pour ne pas la faire... Mon maître Jedï disait (du moins dans uhe BD que je dessinais quand j'étais étudiant) "Pourquoi fderwelt déjà se barrer? Fonds de bouteilles encore plein rester!".

Désolé.

-- françois

[invite52c52005]

Et quand je pense à la maîtrise de moi que j'ai dû déployer pour ne pas la faire... Mon maître Jedï disait (du moins dans uhe BD que je dessinais quand j'étais étudiant) "Pourquoi fderwelt déjà se barrer? Fonds de bouteilles encore plein rester!".

Désolé.

-- françois

C'est parce que la Force est avec toi et que tu n'as pas cédé au côté obscur.

Bon, j'arrête moi, je vais me faire modérer. Ce n'est pas ça qui va faire avancer ta discussion. Désolé.

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