Combinaison Linéaire

[invite1a8a4f0b]

J'ai le probleme suivant :
On considère les éléments suivants de R³ : u = (1,1,1) et v = (3,1,-2)
a) Montrer que l'ensemble des éléments l.u (lire lambda.u) (lambda appartenant à R) est stable par combinaisons linéaires. Quelle relation doit exister entre x,y,z pour que le triplet (x,y,z) soit élément de cet ensemble ?

J'ai essayé de résoudre comme suit :
Soient A,B,C trois éléments de cet ensemble. C = (x,y,z) est combinaison linéaire de cet ensemble s'il existe deux réels a (lire alpha) et m (lire mu) tels que :
C = a.A + m.B et que C appartient lui aussi à l'ensemble.
Si A et B appartiennent à l'ensemble l.u on peut en deduire que :
C = a(l.u) + m(l.u) ==>
C = (a.l+m.l)(u)
a,l,m etant des réels appartenants à R on en deduit que C appartient à l'ensemble et que ce dernier est stable par combinaison linéaire
C = (a.l+m.l)(u) ==>
(x,y,z) = (a.l+m.l)(1,1,1) ==>
(x,y,z) = ((a.l+m.l),(a.l+m.l),(a.l+m.l) )
{ x = a.l+m.l
{ y = a.l+m.l
{ z = a.l+m.l
On en deduit la relation suivante : x = y = z
J'apprecierais vos commentaires sur ma solution.
Merci d'avance
-----

[Jeanpaul]

Pour l'instant ça va, mais il y a peut-être d'autres questions...

[invite4ef352d8]

la solution est corecte, maintenant si tu veux des commentaire je trouve que tu t'y prend de facon etrange (au niveaux de la redaction) et qu'il manque d'une reciproque a la fin...


je te proposerai :

Apellon L l'ensemble considéré.

[La premier parti je change presque rien]
1) montré que L est stable par combinaison lineaire.
soit A et B deux element quelconque de L ie il existe m et n tel que A=n*l et B=m*l et alpha,beta
deux reel.
Alpha*A+Beta*B = (Alpha*n+Beta*m)*l est un element de L donc L est stable par combinaison lineaire.


[en revanche pour la 2e ta redaction est vraiment... etrange]
2) Soit K=(x,y,z) un element de L
alors K=l*(1,1,1) = (l,l,l), donc x=l,y=l,z=l.
d'ou x=y=z

reciproquement soit k=(x,y,z) telle que x=y=z alors K=x*(1,1,1) donc K appartien a L.

[invite1a8a4f0b]

Merci à vous tous pour les commentaires.

[A voir en vidéo sur Futura]