Exo de Topologie niveau L3

[invite9cba6872]

Bonjour à tous,

Est ce que vous pouvez m'aider à résoudre cet exo de topologie ( sur les parties compactes dans R^n) svp ?
Apparemment il faut utiliser la définition de Borel Lebesgue mais je l'ai que dans R.
(fichier joint)
Merci d'avance.
-----

[invite23cdddab]

J'aurai tendance à vouloir construire cette partie à la main :

La distance entre un compact et un fermé (disjoints) est strictement positive :

Soient un compact et un fermé, et disjoints, alors


On pose alors

, est ouvert et d'où .


Exercice : démontrer mes affirmations

[invite9cba6872]

merci Tryss2 pour ta méthode

[invite9dc7b526]

j'ai l'impression que c'est déjà vrai si S est simplement fermé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47ecce17]

Bonjour,
Non, si tu prend une branche d'hyperbole et un quart de plan (ouvert) qui la contient, tu vas avoir du mal a ce que adh{U} reste dans le quart de plan.

[invite47ecce17]

Non, j'ai dit une bétise, mon contre exemple ne fonctionne pas. Désolée!

[invite9dc7b526]

on peut toujours construire une autre hyperbole un peu plus près de la frontière du quart de plan, non? (quelque-chose doit m'échapper mais je ne vois pas quoi ça m'énerve...)

[invite23cdddab]

Effectivement, S fermé semble suffire :

Si on note d(x,A) la distance de x à A, alors

On défini alors



Et cet ouvert convient (sauf si je me plante)

[invite9cba6872]

et sinon si on veut utiliser Borel on peut dire que
S est compact donc on peut le recouvrir par un recouvrement fini d'ouvert U1, ..., Un
comme S inclus dans V on peut prendre les V inter Ui puis l'union
mais l'adhérence me bloque

[invite9dc7b526]

Et cet ouvert convient (sauf si je me plante)

à mon avis tu ne te plantes pas et tu montres que le résultat est vrai dans tout espace métrique, pas seulement dans les R^n