Points rationnels réduits / non réduits.

invitecbade190 · 12/10/2015, 17h43

Bonjour à tous,

Soit $\text{[math]}$ un corps algébriquement clos de caractéristique différente de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tels que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux polynômes irréductibles dans $\text{[math]}$ , pour $\text{[math]}$ .
Alors, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ induisent deux sous schémas fermés $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ via les deux homomorphismes d'anneaux surjectives : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement.
Soit : $\text{[math]}$ the scheme - theoritic intersection of $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ ( i.e : le pull - back de $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ . D'où : $\text{[math]}$ .
Par opposition to set-theoritic intersection, les composantes irréductibles of scheme-theoritic intersection de deux schémas réduits ne sont pas nécessairement réduits.

A titre d'exemples, l'auteur affirme que, pour : $\text{[math]}$ , on a :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .

Voici ce que je comprends pas dans ce cours :
L'intersection : $\text{[math]}$ consiste en deux points rationnels, de points topologiques sous jacents : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Ces deux points sont intrinsèquement différent l'un par rapport à l'autre, tels que : $\text{[math]}$ est réduits , alors que $\text{[math]}$ , n'est pas réduits.

Ma question est donc, de savoir pourquoi : $\text{[math]}$ est réduit alors que $\text{[math]}$ n'est pas réduit ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 12/10/2015, 23h40

Bonjour à tous,

Pourquoi, si un anneau est de la forme : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ , alors, il n'est jamais réduit ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 13/10/2015, 00h11

Salut :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Par conséquent : $\text{[math]}$ car : $\text{[math]}$ .
Par conséquent : $\text{[math]}$ est nilpotent, et donc : $\text{[math]}$ n'est pas réduit.
Appliqué aux anneaux du premier message, on constate que : $\text{[math]}$ n'est pas réduit.
Pourquoi, alors, $\text{[math]}$ n'est pas réduit ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 13/10/2015, 19h09

Bonjour,

Dans mon cours, il est noté que :
Le schéma $\text{[math]}$ est réduit si et seulement si $\text{[math]}$ est un anneau réduit, d'après la proposition suivante :
Proposition :
Un schéma est réduit si et seulement si pour tout ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est réduit.
Or, je ne comprends pas le lien qui existe entre ces deux énoncés. Pouvez vous m'expliquer ce lien entre ces deux énoncés svp ?

Merci d'avance.

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invitecbade190 · 13/10/2015, 19h29

Ce que je sais est que : $\text{[math]}$ . Or, il me semble qu'il est faux de dire que, le schéma $\text{[math]}$ est réduit si et seulement si : $\text{[math]}$ est réduit.
Est ce que : $\text{[math]}$ est réduit si et seulement si pour tout ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est réduit ?
Merci d'avance.

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