Normalisation

[invite5357f325]

Bonjour,
Il me semble que la normalisation d'une variété algébrique est en un sens la plus "petite" résolution des singularités.
Si je prends Y le cône projectif sur une courbe X (de genre g), la normalisation pour moi serait juste P^1 x X ( la fonction P^1 x X -> Y serait la projection qui envoie (s,t,x) sur la droite au point (s,t) entre le sommet du cône et x)
Est ce que c'est vrai ? (je ne sais pas comment vérifier la propriété universelle et je ne connais pas d'autre critères équivalents).
Merci d'avance !
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Malheureusement la normalisation d'une variété algébrique n'est pas non singulière en general. Donc non, ca n'est pas une resolution des sigularité.
Pour la seconde question, ca doit etre qqch comme ca oui. Faudrait verifier simplement que la normalisation de cone affine d'une courbe est le produit de A1 avec cette courbe, ce qui est une question locale sur la courbe, et on se ramène a une petite question algébrique, qui doit pas etre difficile à demeler.

[invite5357f325]

D'accord, merci pour la précision, je vais voir si je peux montrer ça. Si je savais que la normalisation du cône est le cylindre est ce assez pour conclure ?

[invite47ecce17]

Si la courbe est lisse, ca doit se ramener à ca oui. Mais faire le calcul en affine me semble plus direct, si tu travailles fibre a fibre, alors il faut se demander si les fibres de la normalisation sont la normalisation des fibres, ou pls precisement si tu as un morphismes entre deux variétes X->Y, au dessus d'une variété S, alors si pour chaque point s de S, X_s->Y_s est la normalisation de Y_s, alors est ce que X->Y est la normalisation de Y (question qu'on doit pouvoir trancher cela dit). Alors que travailler au dessus d'un ouvert U ne doit pas couter plus cher et doit bien se faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

J'essaye l'ouvert alors ! Merci encore !