Bonjour,
aujourd'hui est une journée spéciale. De nouveaux mots apparaissent dans ma vie... c'est extraordinaire...
Bon, c'est seulement que la définition de bijection me rappelle celle de biunivoque, et que celle d'injection me rappelle celle de univoque.
Quelqu'un peut-il couper la ficelle?
Merci!
Simon
C'est exactement pareilEnvoyé par Lévesque
Question de génération, peut-être. Ou de mode. Au lieu de "injection", tu peux aussi dire "monomorphisme dans la catégorie des ensembles", ça fait plus pro.
-- françois
Je me suis mis à me marrer en lisant la réponse. Ma copine m'a demandé pourquoi et elle, ne trouva pas ça drôle...
Mais bon, je me sens pas encore assez pro, seulement ça me facilite la lecture de mes notes, Merci!
Simon
Puisque c'est du vocabulaire et que ma discussion c'est réglée rapidement, je pose une question pas tout à fait en rapport avec le titre.
Voilà, je me demande ce qu'est la fonction inclusion, d'après la définition que j'ai (f(x)=x) je croirais à un autre question de gout. Mais la discussion sur le sujet sur wiki m'a brouillé...
http://en.wikipedia.org/wiki/Identity_function
Si j'ai bien comprit, l'inclusion map pourrait faire quelque chose du genre
(x1,...,m) ->(x1,...,xm,0,0,...,0)
Tandis que l'identité ne pourrait que faire
(x1,...,m) ->(x1,...,m)?
Salut,
si B contient A, tous les éléments de A s'envoient naturellement dans B : c'est l'injection canonique (=fonction inclusion si tu préfères, mais ça fait moins pro
Bref, rien de bien compliqué et on peut voir cette fonction comme la restriction à A de l'identité sur B.
Cordialement.
EDIT : croisement. Oui c'est ça : c'est une question d'ensembles de départ et d'arrivée. L'identité sur B va de B dans B tandis que l'injection canonique va de A dans B.
Que MacLane et Birkhoff appellent "insertion", ce que je trouve personnellement plus joli et moins péteux que "injection canonique". Question de goût encore...si B contient A, tous les éléments de A s'envoient naturellement dans B : c'est l'injection canonique (=fonction inclusion si tu préfères, mais ça fait moins pro
-- françois
Oui, mais en algèbre, je crois qu'on aime bien les objets canoniques et universels. Question d'habitude !
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rvz
"Universels", OK, ça, tout le monde l'admet depuis la théorie des catégories. Au moins, ça a été formalisé proprement, de manière non ambiguë.
"Canonique", c'est un peu passe-partout, et ça fait très profession de foi.
Par ailleurs, je dois avouer que le terme "insertion" pour "injection canonique" ou même "(application) inclusion" n'a jamais vraiment pris en français.
-- françois
Ah bon ? Qu'est ce que ça veut dire ? C'est possible d'expliquer ça vite fait pour quelqu'un qui a juste vu la définition d'une catégorie un jour il y a longtemps ? Ou alors il existe une référence facile ?
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rvz
La déf' est facile.
Si F: C -> Ens est une foncteur d'une catégorie C dans celle des ensembles, un élément universel pour F est un couple (X, x) formé d'un objet X de C et d'un élément x de F(X), avec la propriété: pour tout objet Y de C et tout élément y de F(Y), il exisste un unique morphisme f: X -> Y tel que F(f)x = y.
Ça a l'air fumeux comme ça, mais en faisant un diagramme ça s'éclaire. Ça veut dire en fait que (X, x) peut être réalisé d'une manière essentiellement unique, en respectant la fonctorialité.
C'est plus ou moins bien expliqué dans n'importe quel traité de théorie des catégories, suivant le niveau d'abstract nonsense que l'on est prêt à digérer. Mais c'est toujours ça, étant donné que c'est quand même une des notions de base... d'ailleurs les foncteurs n'ont été conçus que pur pouvoir parler proprement d'éléments universels.
-- françois
P.S. - Pour la théorie des catégories: comme il s'agit d'une notion très élémentaire, le plus simple et le moins abscons sera le plus efficace. J'en ai bien un trouvé sur le net, "Categories for Everybody" de Steve Awodey (Carnegie-Mellon University) mais il en existe d'aussi bien en français. Et en plus j'ai perdu le lien.
Merci beaucoup !
En fait, ça veut dire que tu peux transporter les flèches de C sur Ens, via le foncteur F.
Je vais méditer là dessus, et je poserai des questions plus tard.
Bonne nuit !
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rvz
Presque... Il faut en plus avoir un élément x dans l'image de X par F, ce qui n'en fait pas pour autant un foncteur dans PtEns... Mais ça y ressemble tellement que c'est très intimement lié à la notion de foncteur représentable.
Je te laisse dormir, on y reviendra plus tard.
-- françois
Salut !
Une nouvelle journée et plein de nouvelles questions qui apparaissent : C'est quoi PtEns ? Et un foncteur représentable ?
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rvz
Chaque journée apporte son lot de question...
Bonjour, je ne sais pas si c'est l'endroit approprié pour demander ça, mais il y a un symbole qui ne m'est pas très familier... Le symbole s'affiche en cliquant ici, c'est le mapsto (je n'arrive pas à l'afficher correctement en Latex, c'est la flèche ordinaire qui s'affiche.)
Par exemple, j'ai un énoncé du genre (j'écris "|-->" pour maps to) : Montrer que l'application, y avec ||y||^2=1 |--> y, est ...
Merci de corriger mon ignorance (honteuse),
Simon
PS: comment on fait pour afficher des images directement dans le message?
Salut,
Il me semble que c'est juste le symbole traditionnel que l'on met devant des fonctions.
En fait, si f est une fonction de A dans B, on écrit
Et effectivement, ici, ça s'affiche comme un \rightarrow, va savoir pourquoi ...
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rvz
C'est dnogue tout ce qui se pases dèq que j'ai le dos tourné... En panne depuis jeudi soir, la faute à un serveur de Cegetel qui a pété, et réparé seulement depuis un (gros) quart d'heure... Arf.
PtEs est la catégorie des ensembles pointés: les objets ont les (X,x) où X est un ensemble et x€X, les flèches de (X,x) vers (Y,y) sont les applications f:X-->Y telles que f(x)=y.
Un foncteur d'une catégorie C vers Ens est représentable si hom(X,Y) (ens. des flèches de X vers Y) est "canoniquement" en bijection avec l'ensemble des applications de X vers Y. Il y a équivalence entre l'existence d'éléments universels et la représentabilité.
Tout ça s'explique très facilement avec des jolis diagrammes commutatifs et plein de flèches dans tous les sens, dont plusieurs en pointillés, mais déjà que je suis pas trop balèze en LaTeX...
Et pour en revenir à l'insertion, ou injection canonique, c'est un égalisateur de deux flèches, dont l'une est la fonction caratéristique du sous-ensemble qu'on veut "injecter", mais là encore ça fait plein de diagrammes.
Salut,
-- françois
Salut,
C'est simplement un raccourci pour écrire " a pour image " ou "s'envoie sur". Il ne s'applique qu'aux éléments.
Oui, le module mimetex du forum ne reconnaît pas toutes les commandes.(je n'arrive pas à l'afficher correctement en Latex, c'est la flèche ordinaire qui s'affiche.)
Avec les balises [img]url de la source[/url] mais bon c'est pas pratique surtout si la source est susceptible de mourir.PS: comment on fait pour afficher des images directement dans le message?
Cordialement.
Juste pour vérifier que je comprends bien la question. A prend un vecteur de R^n ayant une norme égale à un, et en fait un vecteur de R^n+1 n'ayant pas nécessairement une norme égale à un?Par exemple, j'ai un énoncé du genre (j'écris "|-->" pour maps to) : Montrer que l'application
J'ai essayé et ça fonctionne pas. J'ai cliqué sur "insérer une image", j'ai inscrit le lien, et aucune image n'apparait... Mais bon, c'est pas trop important.
Salutations,
Simon
En gros, A(y) prends un y, élément de R^n avec norme 1, et l'envoie dans un y, élément de R^n+1, avec norme 1?j'ai un énoncé du genre (j'écris "|-->" pour maps to) : Montrer que l'application
J'étais pas certain pour la norme, mais comme on appelle y le vecteur, avant et après l'application de la fonction, j'ai l'impression que la condition ||y||=1 doit s'appliquer avant et après l'application...
Vous en pensez quoi?
Merci,
Simon
Je réessaie...
Soit l'application A :
y avec
Est-ce que A fait quelque chose du genre
conservant la norme égale à 1 ou plutot quelque chose du genre
où la norme de x est égale à 1, ou bien où la norme de x vaut n'importe quoi?
Il faut que je montre que A est un plongement et donc une immersion, si ça peut aider à déchiffrer l'énoncé qui me laisse perplexe...
Merci!
comment est défnie S^n ? si c'est le sous-ensemble de R^(n+1) des vecteurs de norme 1 la question est un peu absurde. Sinon, que signifie ||y||=1 ?
Bonjour,
C'est ce que je me suis dit aussi... Mais je ne vois pas ce que ça peut être d'autre, sinon
Alors l'exo revient à montrer que l'insertion de
-- françois
"La question est un peu absurde"? en tout cas, je ne la comprends pas.
Plus exactement, la question est mot pour mot:
Montrer que l'application
A :
est un plongement.
Dans le cours, l'assistante a donné un hint. On commence par montrer que A est une immersion : si on arrive à trouver des cartes
Une fois qu'on a l'immersion, c'est facile de montrer que c'est un plongement.
Je me demande s'il faut que je fasse tous les calculs explicites des transfos avec le proj. stéré. au poles nord et sud... Mais avant, il faut que je sois certain de ce que fait l'application A.
Merci pour votre aide,
Simon
apparemment ton application est tout simplement l'injection canonique comme on dit (donc c'est déjà une injection). Pas besoin de préciser que ||y||=1, ou quelque-chose m'échappe?
Dans un livre, j'ai
*la sphère
L'immersion est définie comme une opération entre deux variétées différentielles [1]. Pour vérifier que S^n dans R^{n+1} est une immersion, il faut que je soit certain que ma sphère soit une variété différentielle. Or, d'après *, on dirait qu'il faut dès le départ la considérer comme sous-ensemble de R^{n+1}.
On dirait que la question dit: la sphère n'étant pas considérée comme sous-ensemble de R^{n+1} est, lorsque considérée comme sous-ensemble de R^{n+1}, une immersion.
Si dès le départ, on suppose que la sphère est un sous ensemble de R^{n+1}, alors A:S^n -> R^{n+1} est l'identité?
C'est le genre de question tellement simple qu'on se demande ce qu'il faut faire...
Simon
[1] L'immersion est définie comme :
Soit φ:M→N une application différentiable de la variété différentiable M à dimension m dans la variété N à dimension n, avec m≤n. L'application φ est une immersion si les cartes h et k (des applications différentiables) peuvent être choisies telles que k∘φ∘h⁻¹:h(U)→k(V) soit l'inclusion. Ici, R^{m} est considéré comme sous-ensemble de Rⁿ:R^{m}≡R^{m}×0_{n-m}⊂Rⁿ. Autrement dit, dans des coordonnées convenables φ est localement de la forme (x¹,...,x^{m})↦(x¹,...,x^{m},0 ,...,0)
