Questions traitement de signal, transformée de fourrier

[invite9371a159]

Bonjour,

J'aurais quelques questions sur le sujet svp :

On dit que la périodisation temporelle correspond à un echantillonage fréquentiel càd un échantillonage de son spectre et vice versa, j'aimerais comprendre comment mathématiquement on arrive à ces résultats dans le cours de traitement de signal nous avons simplement vu les formules suivantes :

E étant la somme avec n de - l'infini à + l'infini

Transformée de Fourrier d'un signal avec périodisation :

TF(E(x(t-nT0)) = E(f0*X(nf0)*impulsiondedirac(f-nf0)

et transformée de Fourier d'un signal échantilloné :

TF(xe(t)) = E(fe*X(f-nfe))



L'autre question concerne la transformée de Fourier qu'on obtient à partir de la décomposition en série de Fourier :

( S étant le symbole de l'intégrale)

On arrive à un point ou on trouve que les coefficients Xk du signal x(t), Xk = 1/T(S(x(t)*exp(-2ipift)dt) , ensuite on prend X(f) = la meme expression sans 1/T, je suppose donc que X(f) = T*Xk, et ça dit c'est la transformée de Fourier, pourquoi a t-on pris cette quantité comme étant la transformée de Fourier ? La transformée du signal étant le spectre ...


Aide svp

Merci bcp d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Pour répondre vraiment, il faudrait quasiment refaire un cours détaillé sur la TF en traitement de signaux. Je te donne simplement une idée sur ce qu'est l'échantillonnage d'un signal :
On mesure la valeur d'un signal s(t) tous les T. Pour simplifier, on suppose qu'on échantillonne de 0 à nT (donc n+1 valeurs); mathématiquement on retrouvera le cas général par composition avec une fonction affine. la valeur mesurée en kT n'est pas une valeur indépendante des valeurs de s au voisinage. Non seulement s est généralement continu, mais encore, une mesure demande un certain temps (pense à la prise d'une photo, un "instantané" demande un certain temps d'exposition). Donc la valeur obtenue est une certaine moyenne.
Pour la TF, il va falloir intégrer. Intégrer la fonction qui vaut s(kT) pour chaque kT depuis k=0 jusqu'à k=n n'a pas de sens : On ne connaît pas ses valeurs ailleurs. Pire : On peut changer la valeur de la fonction en un point sans changer l'intégrale ! Mais on connaît une "fonction", définie en un seul point comme non nulle, nulle partout ailleurs et dont l'intégrale est 1 : La distribution de Dirac que je note d (flemme d'écrire en LaTeX). En prenant comme équivalent de la fonction la distribution somme(s(kT)d(kT),k=0..n), on obtient par intégration une valeur qui est une approximation de la bonne intégrale, d'autant meilleure que n est plus grand.

Voila pour l'idée de base de l'échantillonnage d'un signal. Le reste est à voir dans un cours approfondi de traitement de signal. Si tu as le niveau (disons L2/L3 scientifique), tu peux aller étudier un bouquin. Si tu es en première année de DUT R&T, il sera difficile de tout justifier. Dans ce deuxième cas, je peux t'envoyer un cours adapté aux R&T première année, qui traite de ces deux sujets (envoie-moi ton mail par MP). De façon un peu rapide et peu justifiée, mais on ne peut pas faire mieux à ce niveau.

Cordialement

[invite9371a159]

Je connais déjà cela et ca ne répond pas à mes questions, dsl

Cela dit j'aimerais savoir une chose, quand tu parle de l'intégration de s(kT)d(kT) tu veux dire en fait une somme non ?

Ce que je veux savoir c'est comment on trouve ces équations qui démontre qu'un échantillonage correspond à une périodisation du spectre et vice versa, je sais que ce n'est pas bien difficile mais je ne trouve pas comment, j'ai essayé de faire avec TF de produit de convolution mais ca ne donne pas le bon résultat, j'ai cherché un peu sur internet cours et documents de TS mais je n'ai pas trouvé la démonstration pour ces équations ...

Transformée de Fourrier d'un signal avec périodisation :

TF(E(x(t-nT0)) = E(f0*X(nf0)*impulsiondedirac(f-nf0)

et transformée de Fourier d'un signal échantilloné :

TF(xe(t)) = E(fe*X(f-nfe))

[gg0]

Bonjour.

"quand tu parle de l'intégration de s(kT)d(kT) " ?? Où ça ? d est ici le Dirac, pas un élément différentiel. Finalement, quand tu dis "Je connais déjà cela", je peux difficilement te croire puisque tu n'as pas su lire !

Pour ma part, je ne sais pas quelles sont les formules que tu écris (tu n'as pas défini ce dont tu parles, tes notations). C'est d'ailleurs bizarre, dans ta première formule, ce E qui est des deux côtés). La base est ce que j'ai expliqué, le remplacement du signal par une somme (pas une intégrale, c'est un échantillonnage) de Diracs multipliés par des coefficients adaptés; une combinaison linéaire de Diracs.

Pour un traitement plus mathématique (convergence de l'échantillonnage vers la fonction, idem pour la TF), je ne peux que te renvoyer à un cours sur les distributions fait en vue des applications à la physique, plus particulièrement au traitement du signal. Comme je ne connais que d'assez loin (j'ai travaillé avec des traiteurs de signaux, mais je n'ai pas étudié ça), mon conseil est de demander à un spécialiste une référence ou de chercher dans ta BU.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9371a159]

Bonjour.

"quand tu parle de l'intégration de s(kT)d(kT) " ?? Où ça ? d est ici le Dirac, pas un élément différentiel. Finalement, quand tu dis "Je connais déjà cela", je peux difficilement te croire puisque tu n'as pas su lire !

Cordialement.

Est ce une blague ? Tu devrais relire ton précédent message, parce que là c'est le facepalm ...

Je n'ai pas tout défini car ce sont des notations bien connues en traitement de signal, mais si tu veux je peux le faire.

[gg0]

Mon message était parfaitement clair, la notation y était définie :
" La distribution de Dirac que je note d (flemme d'écrire en LaTeX). En prenant comme équivalent de la fonction la distribution somme(s(kT)d(kT),k=0..n),"
S et t sont définis préalablement.

Sinon, je te rappelle que les notations sont variables en mathématiques, et je ne suis pas sensé savoir ce que veut dire E (signal d'entrée ? Espérance mathématique ? partie entière ? ...)

"... des notations bien connues en traitement de signal ..." ?? Il y a différentes façons de présenter, avec des notations très différentes. Ce n'est pas parce que tu as utilisées certaines notations qu'elles sont universelles.

[invite9371a159]

Sinon, je te rappelle que les notations sont variables en mathématiques, et je ne suis pas sensé savoir ce que veut dire E (signal d'entrée ? Espérance mathématique ? partie entière ? ...)

E étant la somme avec n de - l'infini à + l'infini

Ok perfect troll.

[gg0]

OK. j'ai mal lu !
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Mais il existe d'autres possibilités que de remplace un symbole qui est l'initiale de "somme" (en grec) par un symbole qui lui ressemble trop vaguement pour être compris (d'autant que E est très utilisé en traitement du signal aléatoire) . d pour "dirac", c'est logique.

Bon, j'ai proposé ce que je pouvais, tu n'en es pas satisfait, rien ne t'interdit d'aller voir ailleurs ... je ne suis pas payé pour te répondre; la bonne volonté est parfois mal récompensée.

[invite9371a159]

Désolé mais je t'ai pris pour un troll, et je te remercie pour ta bonne volonté mais moi je cherche à savoir les démonstrations de ces formules, je ne peux pas comme ça apprendre une formule bêtement sans savoir d'où elle vient, et en plus on la mémorise bien plus facilement quand on la comprend et on ne risque plus de se tromper ...

Aide SVP.