Présentation d'un groupe.

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Pourriez vous m'expliquer svp pourquoi le groupe fondamental de la somme connexe de tores, admet une présentation : ?.

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Une manière de le voir est de remarquer que la somme connexe de tores peut se construire comme le quotient d'un polygone à côtés. C'est plutôt classique, tu peux le voir à la main (quelques mots sont écrits ici). Ensuite, tu n'as plus qu'à appliquer le théorème de van Kampen pour calculer le groupe fondamental. Tu peux prendre un voisinage du bord du polygone et le complémentaire d'un voisinage plus fin du bord; alors , est cyclique (puisque est un anneau) et est un groupe libre (puisque est homotopiquement équivalent à un graphe).

[invitecbade190]

Salut Seirios :

D'abord, je te remercie d'avoir pensé à m'aider. C'est très gentil.
J'imagine qu'il faut établir que : , non ?
Or : avec : : l'inclusion. ( Van Kampen + propriétés des sommes amalgamé )
Mais, je ne sais pas comment établir que : et malgré tes explications Seirios.

Merci d'avance pour l'aide.

[invitecbade190]

J'ai compris pourquoi : , parce que le groupe fondamental d'un graphe connexe est un groupe libre, j'ai vu ça dans mon cours tout à l'heure. Il reste à justifier pourquoi : . Pouvez vous m'aider là dessus svp ?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour ça, il te faut dessiner ton graphe, et regader le lacet correspondant à l'image de . En l'occurrence, ton graphe est un bouquet de cercles, donc il n'est pas difficile d'en trouver une base libre, et ensuite il n'y a plus qu'à exprimer le lacet image de dans cette base.

[invitecbade190]

Le graphe est un bouquet de cercles, donc, son groupe fondamental est un groupe libre de rang , notons sa partie génératrice correspondant aux cercles orientés du bouquet. Qu'est ce que ça veut dire : ... le lacet correspondant à l'image de ?. Tu prends un lacet quelconque : ?

[Seirios]

Ce que je veux dire, c'est que est un groupe infini cyclique, donc son image dans sera engendré par un lacet . Maintenant, il te faut exprimer sur la partie génératrice de pour en déduire une présentation de .

[invitecbade190]

Merci, mais, je ne comprends pas pourquoi : est un groupe infini cyclique.

[Seirios]

Parce que est un anneau, donc homotopiquement équivalent à un cercle !

[invitecbade190]

C'est bizarre. Je n'ai jamais rencontré une telle notion d'anneau en topologie algébrique.
Donc : avec : , non ?
On a : .
Alors, je ne comprends pas pourquoi : .

[invitecbade190]

Ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_polygon , on parle de : et . Quelle est topologiquement la différence ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Par "anneau", j'entends quelque chose homéomorphe à ; un anneau donc Il est clair que est infini cyclique, engendré par le lacet par exemple. Est-ce plus clair ?

[invitecbade190]

Ah d'accord, merci.
Pourquoi : ?
Merci d'avance.

[invitecbade190]

Parce que : est engendré par la classe : , non ? mais, je ne vois pas pourquoi.

[invitecbade190]

Vous m'avez proposé le lien ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Surfac..._from_polygons
Pour : , ça donne un - gone ( Un carré ), mais, je ne comprends pas pourquoi le groupe fondamental d'un carré est engendré par la classe de son contour : . Le contour est homotope à un lacet constant puisque le carré est contractile. Bref, pouvez vous m'éclaircir ce point svp ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Tu ne regardes pas le carré, mais son quotient, de sorte que le contour n'est pas homotopiquement trivial ! Tu dois pouvoir dessiner un graphe homotopiquement équivalent à (pour mes notations du message #2), regarder le lacet engendrant l'image de dans , et pouvoir exprimer tout ça sur une base fixée. Pour te faire les dents, tu peux effectivement commencer par le tore, qui est plus facile.

[invitecbade190]

D'accord, on restreint alors l'étude au tore , qui est le quotient d'un carré, n'est ce pas ?
U est un voisinage du contour du carré. Le contour du quotient du carré est un bouquet de deux cercles : et .
On pose : .
, non ?.
. Parce que, avec : , on ne peut construire que des mots copies de : plusieurs fois, en supprimant : , non ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Le contour du quotient du carré

C'est plutôt le quotient du contour du carré.

, non ?

Pourquoi ?

.

Es-tu en train d'écrire que le groupe libre à deux générateurs est égal au sous-groupe cyclique engendré par ? Parce que ce serait dire n'importe quoi...

Je n'arrive pas bien à me rendre compte : parviens-tu à dessiner l'image du lacet dans ton bouquet de cercles ?

[invitecbade190]

Je n'arrive pas bien à me rendre compte : parviens-tu à dessiner l'image du lacet dans ton bouquet de cercles ?

Non, pas du tout.

[invitecbade190]

Es-tu en train d'écrire que le groupe libre à deux générateurs est égal au sous-groupe cyclique engendré par ?

, non ? Il n'est donc, pas cyclique.
Comment trouver l'image du lacet ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Non, pas du tout.

Du coup, reprenons depuis le début, dans le cas du tore pour faire simple. Le tore est donc le quotient d'un carré, sur lequel on définit et . Maintenant, peux-tu dessiner et sur le tore ?

, non ? Il n'est donc, pas cyclique.

[invitecbade190]

est un voisinage du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.
est le complémentaire d'un voisinage plus fin du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.
Peux tu m'expliciter stp pour voir plus claire ?
Merci d'avance.

[Seirios]

est un voisinage du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.
est le complémentaire d'un voisinage plus fin du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.

Mais est-ce que tu peux le dessiner, en faisant bien apparaître ? Je te demande ça parce que, si tu arrives à le visualiser, en principe il ne devrait plus y avoir de problème.

Peux tu m'expliciter stp pour voir plus claire ?

C'est le groupe fondamental d'un bouquet de deux cercles... C'est un exemple basique, donc si cela te pose problème, peut-être devrais-tu le travailler un peu plus avant de revenir sur les surfaces.

[invitecbade190]

Salut :

J'ai fait le dessin de , et j'obtiens comme une ''corde épaisse'' fermée ( i.e : ).
Comment j'en déduis le résultat ?

Merci d'avance.

[invitecbade190]

( Produit libre ), non ?

[Seirios]

J'ai fait le dessin de , et j'obtiens comme une ''corde épaisse'' fermée ( i.e : ).
Comment j'en déduis le résultat ?

Maintenant, tu dois remarquer que ton engendre le groupe fondamental . Mais ce lacet est également inclus dans , donc c'est un élément de . Autrement dit, à homotopie près, c'est un lacet dans un bouquet de deux cercles. Et bien tu as tous les éléments en main pour dessiner ce lacet. C'est bon ?

( Produit libre ), non ?

Si je te donne un bouquet de n cercles, le groupe fondamental est un groupe libre de rang n. Peux-tu m'en donner une base en termes de lacets dans ce bouquet ?

[invitecbade190]

Pour dessiner un lacet dans un bouquet de deux cercles, je pars du point de raccordement des deux cercles, puis je fais le tour d'un des deux cercles pour arriver à nouveau au point de raccordement, puis je fais le tour du second cercles pour arriver une nouvelle fois au point de raccordement. Est ce ça la méthode ?. Donc, le lacet s'exprime dans ce bouquet par : avec : : le tour du premier cercle , suivi du tour du second cercle : , pour arriver au point de raccordement, non ?
Merci d'avance.

[Seirios]

C'est-à-dire que tu ne réponds à aucune de mes deux questions, donc je ne saurais pas dire si c'est correct à partir du moment où je ne sais pas à quoi tu réponds...

[invitecbade190]

J'ai répondu à ta question : dessiner le lacet qui engendre dans un bouquet à deux cercles. c'est ce que j'ai fait je pense.

[Seirios]

D'accord, mais dans ce cas ta réponse n'est pas correcte. Si tu suis bien le lacet, tu devrais t'enrouler plusieurs fois autour des boucles de ton bouquet de cercles.