Définitions du petit o pour les suites

[invite84fde39f]

Bonjour.

Mon professeur de math a définie la notion de "petit o" de la manière suivante: Soient et deux suites. En notant l'ensemble des suites convergentes:

si et seulement si

On a ensuite donné une notation équivalente:
si et seulement si

Seulement, dans un exercice, je suis dans un cas du style



Et j'aimerais bien prouver que . En faisant quelques recherches sur internet, j'ai vu que mon cas était exactement la définition "officielle" du petit o, seulement je n'arrive pas à la relier aux définitions qu'on nous a donné. D'où ma question: quelle serait une démonstration formelle pour montrer l'équivalence entre mon cas et la définition du petit o qu'on nous a donné? Je "sens" bien qu'il faut faire une suite de qui va tendre vers 0, seulement dans le cas où je suis, la majoration est valable pour tout fixé, et de fait lorsque j'essaye de former une suite à partir de ça, va varier en même temps que et ça complique tout...

Merci d'avance à l'âme charitable qui voudra bien m'éclairer.
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[gg0]

Bonjour.

Sauf erreur de ma part, en prenant tu as ta suite. Il ne te reste qu'à vérifier que tu retombes sur la définition de ton prof. On doit pouvoir en fait prendre n'importe quelle suite positive de limite 0.

Cordialement.

[invite23cdddab]

Il est assez facile de voir que l'on a "définition de ton prof" => "définition exercice".

Par contre, partant de la définition de ton prof, pour montrer la définition de l'exercice, il faut construire la suite et montrer qu'elle tend vers 0.

On pose si et sinon.

Vérifions que à partir d'un certain rang. Déjà si ne s'annule pas, c'est évident. Par contre, il faut que s'annule à chaque fois que s'annule.

Par définition, en prenant il existe un rang tel que , donc à partir du rang , si s'annule, s'annule aussi.

Montrons maintenant que tend vers 0.

Quelque soit

Soit , alors:
- Si et dans ce cas, et alors
- Si et dans ce cas, en divisant par , on a

Ainsi,



Bon, c'est beaucoup de bruit pour rien, ça serrait beaucoup plus simple si on pouvait diviser par 0