Topologie et convexité (niveau bac +2)

[inviteb2cc74dc]

Bonsoir à tous !

J'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant:

Soit f et g des applications de R+ dans R. On suppose que f est convexe et g est affine, avec f(1)=g(1) et pour tout x dans R+,f(x) <= g(x).
Démontrer que f=g

Voici ce que j'ai fait:

On suppose que pour tout x différent de 1, f(x)<g(x).
On applique l'inégalité de convexité de f avec x=1-E, y=1+E(E>0).
Cela donne f(1)<=(f(1-E)+(f(1+E))/2<(g(1-E)+g(1+E))/2=g(1) (car g est affine)

Donc f(1)<g(1) ce qui est absurde.
Donc il existe un réel positif a tel que f(a)>=g(a), autrement dit tel que f(a)=g(a) (comme pour tout x dans R+,f(x) <= g(x)).

Et voila je me suis arrêter ici, je pense qu'on pourrait répéter le processus une infinité de fois pour arriver à f=g mais je ne trouve pas de moyen de formaliser cela.

Merci d'avance de votre aide, et bonne soirée!
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[invite23cdddab]

Le truc, c'est qu'il ne faut pas partir de "on suppose que pour tout x différent de 1, f(x) < g(x)", la seule chose que tu peux prouver par contradiction en partant de là, c'est " il existe un x différent de 1 tel que f(x) = g(x) ". D'ailleurs tu t'en rend bien compte toi même.

Non, il faut partir de " on suppose qu'il existe un x tel que f(x) < g(x) "

Tu appliques alors l'inégalité de convexité :



Et puis tu conclus

[inviteb2cc74dc]

Salut, merci pour ta réponse!

J'ai refait l'exercice, et ce que tu as proposé ne fonctionne malheuresement pas non plus car f est défini sur R+ et f(2-x) n'est donc pas défini pour tout x positif, retour à la case départ donc.

[inviteb2cc74dc]

Personne n'a d'idée?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Désolé, je t'ai oublié

- Si il existe un x entre 0 et 1 tel que f(x) < g(x), alors on peut appliquer ce que j'ai dit précédemment (f(2-x) est bien défini).

- Donc f(0) = g(0) et f(1) = g(1)

Et alors, quelque soit x > 1,

ou encore

c'est à dire