Valeurs propres d'une matrice non hermitienne

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous.

J'ai une question toute bête.

Supposons que j'ai une matrice de vecteurs propres telle que :



Pourquoi est ce qu'on a pas :



En effet si j'écris A sous forme matricielle, elle est diagonale dans la base des , donc si je prend son conjugué hermitique je change juste les valeurs propres en leur conjugué et je devrai avoir l'égalité :



Pourquoi ça n'est pas vrai ? Où est mon erreur ?

En fait en pratique c'est une question liée à la MQ avec les états cohérents et l'opérateur annihilation. Mais on sait pas ce que ça donne sur l'opérateur création et je capte pas pourquoi.

Merci.
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[Universus]

Bonjour,

Ce n'est pas vrai parce que vous ne « conjuguez » que la moitié de l'équation de valeur propre initiale.



Si A est une matrice, alors est un vecteur colonne et est un vecteur ligne ; l'application fait intervenir une transposition matricielle, de sorte qu'il faut passer du vecteur colonne (à droite de A) au vecteur ligne (à gauche de ).

Et après tout, et ...

[invite8f6d0dd4]

Je comprend ce que vous dites avec l'équation où vous transposez tout, je suis d'accord avec tout ce que vous avez écrit.

Mais pour moi c'est paradoxal avec :



Et là je me dis "je prend le conjugué hermitique de la matrice de gauche"

J'ai donc :

Je constate donc que et sont valeurs propres du conjugué hermétique.

Et là j'ai bien :



Du coup à quel endroit précisément j'ai fait une erreur ?

Le vecteur colonne que j'utilise sur n'est pas "le même" que celui que j'ai utilisé sur ?

J'ai implicitement fait un changement de base ?

Je comprends pas trop précisément où bug ce que j'ai écrit.

Merci beaucoup.

[Universus]

Remarquez que le dual de n'importe quelle application linéaire est bien définie indépendamment de tout choix de base pour l'espace de Hilbert . L'argument que je vous ai donné tient pour toute base, en particulier pour une base de vecteurs propres. Cet argument ne suggère aucun relation du type que vous présentez.

Cela suggère que si vous montrez (par exemple, via un calcul dans une base de vecteurs propres) " implique ", alors A satisfait (probablement) des propriétés assez particulières et il ne s'agit pas d'une application arbitraire. Autrement dit, vous ne considérez (probablement) pas la situation la plus générale. Voici comment s'en convaincre.

L'application est définie à l'aide du produit hermitien sur l'espace de Hilbert . Quand bien même l'application linéaire serait diagonalisable, de sorte que dans une base de vecteurs propres la matrice représentant A soit diagonale, il n'est pas garanti en général que cette base est « orthonormée » pour le produit hermitien. Dans cette base, le produit hermitien est représenté par une matrice hermitienne G, de sorte que où [v] et [w] sont les représentants en vecteurs colonnes de v et w. Ainsi, la relation pour tout v et w est équivalente à l'égalité entre matrices . Si G n'est pas la matrice identité, bref si la base n'est pas « orthonormée », il y a de fortes chances que la matrice ne soit pas tout simplement (où dénote maintenant la conjugaison complexe et la transposition matricielle).

[A voir en vidéo sur Futura]