différentielle d'un champ de vecteurs

invite0731164c · 15/12/2015, 21h24

Bonjour,

Je ne comprend pas trop comment on définit $\text{[math]}$ où X est un champ vectoriel et $\text{[math]}$ est la différentielle. Par exemple, dans les notes de cours ou dans les exercices, il y a souvent $\text{[math]}$ ou quelque chose comme ça. Moi je comprends ce que veut dire $\text{[math]}$ ,mais le premier terme je ne vois pas bien comment c'est définit.

Pouriez vous m'éclaircir sur ce point, si vous avez une idée?.

PS: à priori, (selon moi) $\text{[math]}$ n'existe pas forcément pour n'importe quel champ vectoirel

invitecbade190 · 15/12/2015, 21h53

Salut :

J'imagine que tu as un : $\text{[math]}$ une application différentiable d'un ouvert $\text{[math]}$ vers un ouvert $\text{[math]}$ et que on prend par exemple : $\text{[math]}$ .
Alors si $\text{[math]}$ sont les coordonnées standard sur $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ les coordonnées standards sur $\text{[math]}$ , alors :
$\text{[math]}$
Et donc, $\text{[math]}$
C'est simplement l'application des définitions du cours ... Et en remarquant ce que j'ai écrit, tu peux constater que $\text{[math]}$ n'est autre que $\text{[math]}$ , et la matrice associée à $\text{[math]}$ n'est autre que la Jacobienne en $\text{[math]}$ .

invite0731164c · 15/12/2015, 23h11

Bonjour,

J'ai pas compris pourquoi on a $\text{[math]}$ et pas $\text{[math]}$ .

invitecbade190 · 15/12/2015, 23h14

Oui, c'est ça, tu as raison, c'est juste que j'ai oublié d'ajouter un $\text{[math]}$ en indice.

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invite0731164c · 15/12/2015, 23h58

Mais justement, ma question porte la dessus :

Je rencontre régulièrement l'expression
$\text{[math]}$
sans le p, et je ne comprend pas ce qu'elle signifie.

invitecbade190 · 16/12/2015, 00h18

C'est tout simplement l'image d'un vecteur d'une base : $\text{[math]}$ par une application linéaire $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ .
Sauf que ici, $\text{[math]}$ fais allusion à une application définit sur un fibré, et non sur un espace vectoriel.
En d'autres termes :
Lorsque il s'agit de $\text{[math]}$ on comprend par là qu'il s'agit de : $\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$ , mais, lorsqu'on enlève l'indice $\text{[math]}$ , ça devient une application sur un fibré : $\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est un fibré qui n'est autre qu'une famille d'espaces vectoriels indexé par les points de la variété ... Comme exemple, pense par exemple à une sphère, et son fibré ( tangent ) est la famille $\text{[math]}$ de tous les espace vectoriels qui sont tangent à la sphère en chaque point $\text{[math]}$ de la variété $\text{[math]}$ .
En somme, moi je préfère écrire : $\text{[math]}$ pour désigner ce que au début tu as noté : $\text{[math]}$ , et écrire $\text{[math]}$ pour désigner ce que en final tu notes : $\text{[math]}$ .
Bref, $\text{[math]}$

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