Décomposition en somme directe d'espace de Banach

[Deedee81]

Salut,

Soit X un espace de Banach X et deux sous-espaces E, F de X.

J'ai lu qu'en utilisant le théorème de l’application ouverte, on montre que pour qu’une décomposition en somme directe de l’espace de Banach soit topologique, il faut et il suffit que E et F soient des sous-espaces fermés de X.

Mais je ne vois pas comment on fait. Auriez-vous quelques indices ?
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[Deedee81]

Salut,

Pas d'idée ? Ou ma question est trop imprécise ?

[Tryss2]

Non, la question est précise : A quelle condition a-t-on continue?

Il faut que chacune de ses composante soit continue, dit autrement il faut que la projection de sur parallèlement à soit continue.

Maintenant, supposons continue, alors est un fermé. Donc est nécessairement fermé

Réciproquement, supposons F fermé, et soit V un fermé de E.

Alors

Reste à montrer que V+F est fermé

Si on considère l'application , alors est linéaire continue surjective donc ouverte. Surjective, car et sont supplémentaires et continue, car

or et sont fermés, donc est fermé et comme est ouverte, est fermé

[Deedee81]

Salut,

Je te remercie. Je vais regarder ça de plus près sur le temps de midi.

[A voir en vidéo sur Futura]