Décomposition en somme directe d'une représentation.

[invitebb921944]

Bonjour, je bloque sur un petit problème...

On suppose que est une représentation (de dimension fini) d'un groupe G (fini mais ce n'est pas très utile ici je crois).
On a par définition :


est clairement une sous-représentation de .
Maintenant, je montre que est une sous-représentation de .
On a .

Soient .
Je veux montrer que pour tout .
Or, .

Maintenant, ce que je ne parviens pas à montrer, c'est que mes deux sous espaces ont l'ensemble nul pour intersection.
Si j'y arrive, je pourrais conclure en raisonnant sur la dimension de mes représentations.
Le procédé est-il correct ?

Merci pour votre aide.

P.S. : je sous-entends "l'automorphisme associé à " lorsque j'écris .
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[invitea41c27c1]

Usuellement on introduit le produit scalaire sur :
(où est un produit scalaire quelconque)
(Il faut alors que soit fini)

Tous les sont alors des endomorphismes orthogaux, et tu raisonnes sur .

Mais avec ta méthode, je ne sais si et sont effectivement supplémentaires...

[invitebb921944]

Tu essaies de me dire qu'il se peut qu'en utilisant une certaine méthode, deux espaces ne soient pas supplémentaires alors qu'ils le sont avec une autre ?
Je ne comprends pas.

Je ne vois pas exactement comment utiliser le produit scalaire pour arriver à mes fins.

Peut-être que je peux procéder comme suit :

est une sous-rep. de , donc il existe une sous-rep. de telle que .
J'introduis ensuite le projecteur sur , puis tel que .
On a et je tente de montrer que , j'ai alors ma décomposition par le lemme des noyaux.
Enfin je sais pas du tout si ça va mener à quelque chose...

Merci pour ton aide.

[invitea41c27c1]

Pour démontrer que , je fais ca de la facon suivante :

On a , ou est l'orthogonal de pour le produit scalaire que j'ai introduit dans mon message precedent.

Et en fait on a , en effet :

est isomorphe a , via l'isomorphisme
Et on a

CQFD

En fait c'est quoi la question initiale ? Montrer que ou monter que "Toute representation est somme direct d'un representation irreductible" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci bien !
La question initiale était de montrer que V était somme directe de...

[invite7c6483e1]

Pour démontrer que , je fais ca de la facon suivante :

On a , ou est l'orthogonal de pour le produit scalaire que j'ai introduit dans mon message precedent.

Et en fait on a , en effet :

est isomorphe a , via l'isomorphisme
Et on a

CQFD

Salut Garnet,
Cette discussion date un peu, mais je suis sur le même exercice là.
Ta preuve a l'air pas mal, mais j'ai plusieurs question...

D'après mon cours d'algèbre linéaire, l'isomorphisme que tu donnes: , envoie l'espace vectoriel V sur son bidual et non sur son dual... Donc tu ne peux pas dire est isomorphe a a priori je pense ou alors j'ai vraiment du mal.
Ensuite tu montres l'égalité: .
Du coup la suite de ton truc tombe à l'eau ! Et la deuxième équivalence me semble bancale parce que tu dis quelque soit <.,y> mais tu donnes une proriété sur y qui n'est pas un élément du bidual. On a un isomorphisme, pas une égalité.

Donc à tous, je n'arrive pas trop à faire cet exercice et me perds dans ces histoires de dualité. Pour l'énoncé de l'exo, lire la discussion et les posts de Ganash... Merci !

[invitebe0cd90e]

Sauf erreur evidemment a craindre a cette heure ci, j'ai l'impression qu'il y a quelque confusion :

- Deja, attention fulliculli, pour n'importe quel produit scalaire sur V, et pout tout x dans V, est bien une forme linéaire sur V, donc un element de
- ensuite, je suis d'accord qu'il y a quelque chose de pas tres clair dans les equivalences de Garnet. Si designe bien le dual de je n'en suis pas sur dans ce message) alors ca n'a pas de sens de dire que x est dedans, a la limite je dirais ou est le dual de , mais passons.

Pour en revenir a la question de depart, je pense qu'il y a une petite confusion : la methode de Garnet permet pour une sous representation quelconque de V, de prouver qu'il existe une sous representation qui lui est supplementaire, et ceci passe par l'introduction d'un produit scalaire specifique.

Dans le message de Ganesh, en revanche, on a pas de produit scalaire particulier, mais simplement le dual "usuel", et on considere une sous representation tres particuliere, la problemeatique est differente. Je suis d'accord que les notations sont ambigues, mais dans le message de Ganesh, ce qu'il note est bien un sous espace de V et non de .

Tout ca pour en venir la : je pense que pour faire les choses bien il faut montrer que . Partant de la, est par definition l'orthogonal de pour le produit scalaire canonique, et donc ces espaces sont supplementaires. Reste a montrer que c'est bien une sous representation de V. La je ne suis pas d'accord avec la preuve de Ganesh, quand il ecrit , puisque est une application à valeur dans le corps de base, donc cette composition n'a pas de sens. EN revanche, on a bien par definition ou designe l'action de G sur induite par celle sur V. Or est par definition l'ensemble des formes lineaires de V qui sont invariante par l'action de G, cad telle que l'application est egale à l'application , donc .

J'espere que je n'ai pas compliqué les choses, ni fait d'erreur evidemment, mais je pense qu'il y avait quelques confusions qui ne rendaient pas tout ca tres clair. EN particulier, j'ai l'impression qu'il y avait un mic mac entre l'orthogonal d'un sous espace pour le produit scalaire canonique, et l'image de cet orthogonal dans le dual. Bien qu'on puisse identifier ces espace via l'iso il faut faire attention.

[invite7c6483e1]

Salut jobhertz, comme d'hab tu m'aides beaucoup ! merci !

A propos de l'application , je ne suis pas d'accord ... Je te cite mon cours pour appuyer mes dires:

Le dual étant un espace vectoriel il a lui même un dual: le bidual. Le bidual de se note . On considère l'application où . Autrement dit, est bien une forme linéaire sur et donc un élément de défini par . Le premier crochet de dualité étant celui entre et , le second entre et .

Ensuite, je n'arrive pas à être d'accord aussi (peut être que je dis n'importe quoi !) sur le fait que est un sous-espace vectoriel de . En effet, est une partie de . Ce qui nous amène à essayer de prouver le résultat (sur lequel j'ai buté comme toi à un moment donné) qui dit que . En l'admettant, on aurait qui serait canoniquement isomorphe et non égal à ... Donc ça bousille la somme directe... C'est là que je m'embrouille !

Après tu dis que est l'orthogonal de . Alors dis moi si je me trompe mais:
qui devient en identifiant avec le bidual et en admettant notre résultat précédent Alors que par définition, on a:

bref je suis perdu, lost,

Cependant, je suis d'accord sur le fait que l'orthogonal d'une sous-représentation est une sous-représentation supplémentaire.

[invite7c6483e1]

Tentative de preuve du résultat : .

Lemme 1: pour tous espaces vectoriels de dimensions finies m et n et , on a

Démonstration du Lemme 1:
Notons les bases respectives de et , et . Alors est une base de




Lemme 2: .
Démonstration du lemme 2:
l'action de G sur étant triviale, on a le résultat.


Démonstration du résultat voulu:


CQFD

[invite7c6483e1]

A propos de l'application , je ne suis pas d'accord ... Je te cite mon cours pour appuyer mes dires ...

désolé, j'ai compris mon erreur finalement. le crochet de dualité n'est pas symétrique. est un élément de , et est un élément de

:/

[invitebe0cd90e]

A propos de l'application , je ne suis pas d'accord ... Je te cite mon cours pour appuyer mes dires:

C'est bien ce que je disais, il y a confusion (et pour cause c'est essentiellement la meme chose) entre :
- le produit scalaire sur V, qui est une appli bilineaire
- le crochet de dualité, qui est une appli bilinineaire definit par

On prefere en general travailler avec le second, parce qu'il ne necessite pas de choisir une base pour etre defini "explicitement". Mais ces deux notions sont essentiellement les memes !

Dans mon message je n'utilise pas de produit scalaire, sauf quand je dit " est par definition l'orthogonal de pour le produit scalaire canonique,", et j'aurais pu dire "TEX]V^{G*\perp}[/TEX] est par definition l'orthogonal de pour le crocher de dualité"

La 2 e expression colle mieux a la definition de Ganesh mais j'avais peur qu'elle embrouille.

[edit] je n'avais pas vu ton dernier message, c'est bien ca.

[invite7c6483e1]

Sinon pour mon post (le #9) ? Tu trouves une erreur ? Tu avais fait pareil toi ? ou par double inclusion ? Moi je n'ai pas réussi à montrer une des inclusions c'est pour ça que j'ai sorti l'artillerie lourde (produit tensoriel)

[invite7c6483e1]

Démonstration du résultat voulu:

La dernière égalité est fausse

En effet, Ce qui est tautologique...

bon on reprend tout alors ...

[invite7c6483e1]

Ok tentative 2 (juste je pense cette fois) pour montrer le résultat : .
Je n'utilise que le crochet de dualité dans la suite.

Lemme 1:
L'isomorphisme d'espaces vectoriels est un isomorphisme de représentations. (i.e. .

Démonstration du Lemme 1:



Lemme 2:

L'isomorphisme d'espaces vectoriels est un isomorphisme de représentations. (i.e. .

Démonstration du Lemme 2:

.

Démonstration du résultat voulu:
Démontrons cela par double inclusion.
1) :
Soit d'où et .

2) :
Soit . Or .
Ainsi par injectivité de en tant que morphisme d'espaces vectoriels, on a: qui donne . Donc finalement, .

Conclusion: on a ce qu'on voulait !


Des objections ?

[invite7c6483e1]

Tiens j'ai relu mon truc là et je me suis rendu compte que les lemmes 1 et 2 sont intéressants mais complètement inutiles !

En fait, il suffit d'utiliser la définition de l'action du groupe G sur le dual V* de l'espace vectoriel V.
En effet, . Donc à ce compte, démontrer la première inclusion peut se faire directement en écrivant:
. D'où .