<x><y>=<x,y>?

invite0731164c · 14/01/2016, 19h52

Bonjour

Si j'ai un groupe G avec deux éléments x,y dedans. Sous quelle condition a-t-on <x><y>=<x,y>? (ici j'entends le produit éléments par éléments des groupes cycliques).

Merci de votre aide

invite9dc7b526 · 14/01/2016, 21h46

Tu notes <x> le sous-groupe engendré par x? il faudrait préciser ce qu'est <x><y> si c'est l'ensemble des produits ab avec a dans <x> et b dans <y> alors ce n'est pas en général un sous-groupe.

invite23cdddab · 14/01/2016, 22h07

Je pense que ça n'est vrai que si x et y commutent

**Seirios** · 17/01/2016, 09h27

On peut remarquer que $\text{[math]}$ est équivalent à : $\text{[math]}$ est un sous-groupe. Ce sera effectivement vrai si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ commutent, mais une possibilité est que $\text{[math]}$ normalise $\text{[math]}$ (ou bien l'inverse), c'est-à-dire que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Je ne suis pas sûr que la condition soit nécessaire cependant. On peut également dire que $\text{[math]}$ est équivalent à : pour tous $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . Un exemple est le groupe de présentation $\text{[math]}$ .

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<x><y>=<x,y>?

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Re : <x><y>=<x,y>?

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