Espace projectif

invite52487760 · 10/03/2016, 14h39

Bonjour à tous,

Je lis ces temps - çi : Algebraic geometry : A first course ( Joe Harris ), et il y'a un truc que je n'arrive pas à appréhender à la page : $\text{[math]}$ , voici ce que dit la page : $\text{[math]}$ :

If $\text{[math]}$ is a $\text{[math]}$ - dimentional linear subspace, the set of $\text{[math]}$ - planes containing $\text{[math]}$ is a projective space : $\text{[math]}$ and the space of hyperplanes containing $\text{[math]}$ is the dual projective space $\text{[math]}$ .
Intrinsically, if $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ for some $\text{[math]}$ - dimentional subspace $\text{[math]}$ , then the space of $\text{[math]}$ - planes containing $\text{[math]}$ is the projective space $\text{[math]}$ associated to the quotient, and the set of hyperplanes containing $\text{[math]}$ is naturally the projectivization $\text{[math]}$ of the annihilator $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ .

Voila le texte que je n'ai pas compris, est ce que vous pouvez m'aider à le déchiffrer ?
Je ne comprends pas pourquoi dans un passage : the set of $\text{[math]}$ - planes containing $\text{[math]}$ is a projective space : $\text{[math]}$ dans un autre passage the space of hyperplanes containing $\text{[math]}$ is the dual projective space $\text{[math]}$ . Ce passage d'un espace projective à son dual est très ambiguë pour moi, d'un coté on parle de l'espace des $\text{[math]}$ - plans contenant $\text{[math]}$ qui est : $\text{[math]}$ et après on passe aux hyperplans contenant $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ , comment on passe de l'un à l'autre ? Ce n'est pas assez claire tout ça.

Merci d'avance.

**minushabens** · 10/03/2016, 15h29

Déjà tu vois facilement que si Lambda={0} (i.e. k=0) on retrouve les définitions usuelles.

invite52487760 · 10/03/2016, 19h04

Merci beaucoup minusha, j'ai compris ce que tu m'as dit, mais juste pour me convaincre, pourquoi : the space of $\text{[math]}$ - planes containing $\text{[math]}$ is the projective space $\text{[math]}$ ? Comment rédiger ça ?.
Merci d'avance.

**minushabens** · 10/03/2016, 21h38

Je pense qu'il faut considérer un supplémentaire de Lambda, disons F. Il est de dimension n-k. Les traces sur F des (k+1)-sous-espaces vectoriels contenant Lambda sont les droites de F. L'auteur considère que l'ensemble en question est l'espace projectif de dimension n-k-1.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite52487760 · 10/03/2016, 23h41

Bravo à toi minusha, j'ai compris, merci beaucoup. Je vais venir te montrer comment je rédige ça demain.

A demain.

invite52487760 · 11/03/2016, 11h53

Bonjour à tous : ( minusha bonjour

)

Voici ce que je pense après avoir bien saisi l'idée :

On sait qu'il existe une correspondance one-to-one entre l'ensemble des sous espaces vectoriels de $\text{[math]}$ et l'ensemble des sous espaces vectoriels de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ . ( C'est un résultat archi-connu en mathématiques ) En particulier, il existe une correspondance one-to-one entre l'ensemble des sous espaces vectoriels de $\text{[math]}$ de dimension $\text{[math]}$ et l'ensemble des sous espaces vectoriels de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ de dimension $\text{[math]}$ . Par conséquent, il existe une correspondance one-to-one entre $\text{[math]}$ et l'ensemble des $\text{[math]}$ - espaces lineaires de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ . D'où le résultat.

invite52487760 · 12/03/2016, 13h55

Bonjour à tous,

Toujours dans le même livre de Harris, page : $\text{[math]}$ , l'auteur affirme que :
Since the rank of $\text{[math]}$ is never stictly less than $\text{[math]}$ , we can say : $\text{[math]}$ .
Cette affirmation n'est -t-elle pas contradictoire vue que d'un coté, le passage affirme que : $\text{[math]}$ et de l'autre coté, il dit que : $\text{[math]}$ . Cela n'est -t-il pas contradictoire ? Je n'ai pas compris ce passage là.

Merci pour votre aide.

**kasmurdanto** · 12/03/2016, 15h34

alors bon je comprends pas grand chose j'ai pas le niveau , et sans le contexte je ne vois pas ou l'auteur veut en venir , mais la ce que je vois c'est $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ non ? Je ne vois pas d'autre possibilité puisqu'on a deux inégalités différentes non strictes sur les mêmes entiers .

**God's Breath** · 12/03/2016, 15h48

Envoyé par chentouf

Since the rank of $\text{[math]}$ is never stictly less than $\text{[math]}$ , we can say : $\text{[math]}$ .

Je ne parle pas anglais, mais il me semble que lécriture formelle de "is never stictly less than" est " $\text{[math]}$ ".
Il doit s'agir d'une erreur de composition typographique.

Je passe la main aux anglophones.

invite52487760 · 12/03/2016, 23h20

Bonsoir à tous,
Bonsoir kasmuradanto et gb :

Ici, http://math.uchicago.edu/~may/VIGRE/...FULL/Hudec.pdf page : $\text{[math]}$ , on propose une version détaillée de ce qu'on vient de discuter au début avec une immense explication, néanmoins, je n'arrive pas à comprendre ça malgré toutes ces explications, peut être pour vous, je me dis qu'avec cette explication, vous pouvez m'aider un peu. Ce pdf ne compte que $\text{[math]}$ page, vous pouvez le consulter si cela ne vous dérange pas.

Cordialement.

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