Espace projectif

**math123** · 17/05/2014, 10h32

Bonjour,

je suis en train de travailler sur les espaces projectifs et en particulier leurs groupes fondamentaux. Je sais par exemple que le groupe fondamental du cercle est Z ou bien celui du tore Z² mais comment peut-on voir que celui du plan projectif est Z/2Z ou celui de la droite projective ?

Merci à vous

**Seirios** · 17/05/2014, 13h26

Tu peux représenter $\text{[math]}$ comme un disque $\text{[math]}$ où tu identifies deux points du bord diamétralement opposés. Tu peux regarder $\text{[math]}$ un disque ouvert centré en l'origine, $\text{[math]}$ un anneau près du bord, de sorte que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ soit un petit anneau. Maintenant, il te suffit d'appliquer le théorème de van Kampen : $\text{[math]}$ est contratile, $\text{[math]}$ se rétracte par déformation sur un cercle et idem pour $\text{[math]}$ , mais l'image de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ s'enroule deux fois autour du disque, donc cela te donne une présentation du groupe fondamental qui est $\text{[math]}$ , qui est bien $\text{[math]}$ .

Une autre méthode est de dire que $\text{[math]}$ agit librement, proprement discontinûment sur la sphère $\text{[math]}$ , d'où un revêtement universel $\text{[math]}$ ; en particulier, $\text{[math]}$ .

**jules345** · 17/05/2014, 20h46

Bonsoir,

Pourrait-on appliquer une théorème d'isomorphisme ?

**Seirios** · 17/05/2014, 21h45

Tu dois pouvoir montrer que l'inclusion $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ -surjective, puis calculer son noyau. Mais pourquoi vouloir passer par ce théorème ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**math123** · 17/05/2014, 23h57

Bonsoir et merci de vos réponses

@Seirios: Je ne comprends pas trop quand tu dis l'image de U inter V sur la frontière de D inter V : par quelle application ? Et ensuite je n'arrive pas à voir pourquoi l'image s'enroule deux fois autour du disque ? car selon moi on est en dimension 2 (je vois ça plus où moins avec des degrés de liberté je ne sais pas si c'est la bonne méthode).

Merci encore à toi

**Seirios** · 18/05/2014, 07h16

Envoyé par math123

Je ne comprends pas trop quand tu dis l'image de U inter V sur la frontière de D inter V : par quelle application ?

$\text{[math]}$ s'injecte naturellement dans $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ se rétracte sur $\text{[math]}$ ; je parle donc de l'image de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ par la composée de ces deux applications.

Et ensuite je n'arrive pas à voir pourquoi l'image s'enroule deux fois autour du disque ? car selon moi on est en dimension 2 (je vois ça plus où moins avec des degrés de liberté je ne sais pas si c'est la bonne méthode).

En fait, j'ai été plutôt imprécis. $\text{[math]}$ se rétracte sur $\text{[math]}$ , qui est un cercle où deux points antipodaux sont identifiés; en coupant ce cercle en deux, on trouve que c'est un segment dont les deux extrémités sont identifiées, c'est donc également un cercle $\text{[math]}$ . Le groupe fondamental de $\text{[math]}$ est donc cyclique engendré par un arc dans $\text{[math]}$ reliant deux points antipodaux, ce qui correspond à un chemin faisant le tour de $\text{[math]}$ ; notons $\text{[math]}$ l'élément du groupe fondamental correspondant. Maintenant, si tu projettes $\text{[math]}$ sur le bord $\text{[math]}$ (c'est-à-dire tu utilises l'application que j'ai décrite plus haut), c'est un chemin qui va faire un tour complet autour de $\text{[math]}$ , et donc deux tours autour de $\text{[math]}$ ; dans le groupe fondamental, c'est donc $\text{[math]}$ .

**Houdini195** · 07/05/2023, 18h56

Bonjour, je me permet de réouvrir cette discussion pour une question en rapport direct. Je vois partout des preuves par récurrence que le plan projectif réel d'ordre $n\geq 2$ est le groupe à deux éléments. Ne peut-on pas simplement faire le même argument qu'en dimension $2$ en quotientant $S^{n}$ par l'action de multiplication par $\pm 1$?

**GBZM** · 07/05/2023, 21h31

Bonsoir,
"le plan projectif réel d'ordre $n\geq 2$ est le groupe à deux éléments"
Je suppose que tu veux en fait parler du groupe fondamental ?

**Houdini195** · 08/05/2023, 00h33

Oui evidemment, pardon. J'en profite pour demander en outre si la méthode n'est pas aussi valable pour montrer que les groupes fondamentaux d'espaces projectifs complexes sont triviaux?

**GBZM** · 08/05/2023, 08h30

$\text{[math]}$ est bien un revêtement de $\text{[math]}$ , mais $\text{[math]}$ n'est pas un revêtement de $\text{[math]}$ .

**Houdini195** · 08/05/2023, 10h20

OK j'imagine que la structure d'espace euclidien dans la définition de la n-sphère empêche tout argument analogue, c'était assez naïf de ma part. Je me suis laissé avoir par le cas n=1. Merci beaucoup
Est-ce qu'il y a une preuve sans utiliser ce petit symbole [tex]\cup_p[tex]

que je ne connais pas ? Ou alors est-il facile à apprivoiser?
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&sourc e=web&cd=&ved=2ahUKEwjZ34H9sOX-AhVwTaQEHVJwDegQFnoECBUQAQ&url =http%3A%2F%2Fwww.normalesup.o rg%2F~tly%2F622GroupeFondament al.pdf&usg=AOvVaw3_7JsB0HhYUT4 rYt9RCOjy

**gg0** · 08/05/2023, 10h58

$\text{[math]}$ est simplement l'union ensembliste sur une suite indexée par p. Il manquait un / avant le deuxième tex pour que l'interpréteur écrive correctement ton symbole.
Tu peux utiliser directement le bouton Tex en mode "répondre" ou en "mode avancé". C'est le premier de la dernière zone en bas (invisible sur mon écran, sa couleur est progressivement passée du bleu très clair, encore un peu visible, au blanc), le deuxième étant un spoiler.

Cordialement.

**Houdini195** · 08/05/2023, 13h36

D'accord merci beaucoup. Je ne vois pas comment interpréter topologiquement l'égalité du coup.

**GBZM** · 08/05/2023, 15h34

Non, la notation $\text{[math]}$ ne désigne pas du tout "une union ensembliste sur une suite indexée par $\text{[math]}$ ".
La situation est la suivante : l'espace projectif $\text{[math]}$ est le quotient de $\text{[math]}$ par l'action par multiplication de $\text{[math]}$ , le groupe des complexes de module 1. Le $\text{[math]}$ ici dénote la projection $\text{[math]}$ (qui n'est pas un revêtement, comme je l'ai écrit plus haut).
Par ailleurs, on peut voir topologiquement $\text{[math]}$ comme le disque fermé $\text{[math]}$ dans lequel on écrase la sphère du bord $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ au moyen de $\text{[math]}$ . C'est ce que signifie la notation $\text{[math]}$ .

**gg0** · 08/05/2023, 15h50

OK, il ne s'agit donc pas du symbole "union", c'est une notation particulière à ce domaine. J'avais simplement traduit \cup_p en notations classiques.

Cordialement.

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