Mesure de Borel et intégrale

[Loosgin]

Salut à tous,

Définition "mesure de Borel" : Cette mesure est souvent utilisée en théorie de la mesure et en analyse fonctionnelle pour mesurer la taille des ensembles. Elle est définie de telle sorte que les ensembles ouverts ont une mesure positive, tandis que les ensembles fermés ont une mesure nulle.

Si on définit un hypercube unitaire de dimensions n et si on définit l'ensemble des mesures de Borel sur un espace fini, signé et régulier .

Je voudrais savoir à partir de ces définitions et de ce cadre que je viens de donner, que signifie cette intégrale :


Si j'interprète bien ce qui se passe, si cette intégrale vaut 0, alors la mesure de Borel vaut 0 et donc, que l'ensemble mesuré est fermé. C'est bien ça ?

Je demande ça car ils utilisent ça pour démontrer qu'une somme de fonctions sigmoïdale approxime n'importe quelle fonction.

https://web.njit.edu/~usman/courses/...1.441.7873.pdf page 306
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[Resartus]

Bonjour,
Est-ce un lapsus? tous les fermés ne sont pas de mesure de Borel nulle : la mesure du fermé [0,1] vaut très bêtement 1
Le terme fréquent (mais pas toujours utilisé) pour les ensembles de mesure nulle est ensemble négligeable.

Sinon, le fait que pour toutes les valeurs possibles de y et de theta, l'intégrale reste nulle doit en effet impliquer que mu est négligeable. (mais je n'ai pas le courage de lire votre lien...)

[gg0]

Bonjour.

Tu es sûr de ta définition ? Dans le cas où B est l'adhérence de l'ouvert A (B est le plus petit fermé contenant A), de mesure non nulle, on aurait mais pas

Cordialement.

[Loosgin]

Non pas sûr de tout, c'est un lapsus/erreur.

Peut-être qu'ils veulent montrer que la mesure est complète :

En mathématiques, une mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable pour cette mesure appartient à la tribu sur laquelle μ est définie.

Ici, le réel 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Elle est définie de telle sorte que les ensembles ouverts ont une mesure positive, tandis que les ensembles fermés ont une mesure nulle.

ça n'est pas possible parce que l'espace topologique sur lequel une telle mesure serait définie est à la fois ouvert et fermé.

[gg0]

Ce que tu demandes d’interpréter, ce n'est pas une intégrale, mais une implication, non ? réécrit en une seule formule, voilà ce que je lis :

ou encore, écrit correctement :


Cette implication parle des propriétés d'une certaine fonction f, dont une a des conséquences sur la mesure qui a servi à calculer l'intégrale.Vu ce qui est écrit dans l'article que tu cites, il ne s'agit pas de topologie, seulement de définir l'adjectif "discriminatory" pour les fonctions f, notées dans l'article.
Tu sembles avoir des idées très floues, parfois fausses, sur ce dont il est question. Tu aurais fortement intérêt à assurer tes bases, pour ne plus confondre.

Cordialement.

[Loosgin]

Belle hauteur de vue, je te remercie gg0.

Si je synthétise bien ce que tu écris :
" une fonction f est dite "discriminatory" si l'intégration de cette fonction f par rapport à la mesure vaut 0."

[gg0]

C'est un peu court, car ce n'est pas n'importe quoi qu'on intègre. Et comme, si j'ai bien vu, les fonctions "sigmoidal" sont toutes "discriminatory", c'est nettement plus compliqué. Mais je n'ai pas le temps ni la tête à étudier ton articles et les connaissances qu'il présuppose.

Bon travail !

[Loosgin]

Comme tu l'as bien relevée en page 303, est une fonction à 1 seule variable x de type sigmoïdal.

Dans cet article, il cherche à démontrer qu'avec une somme infinie de fonction , on peut approximer n'importe quelle fonction continue.

Et à la page 306 (là où je bloque et vous m'avez bien aidé à avancer), c'est le départ de la démonstration. Et c'est très compliqué car les connaissances demandées pour comprendre le début sont importantes.

[gg0]

Pour l'essentiel je ne les ai pas, même si j'ai entendu parler des théorèmes utilisés. Et je doute qu'on puisse expliquer en quelques lignes ces raisonnements d'analyse fonctionnelle. Donc soit tu acceptes le résultat parce que tu as seulement besoin des conclusions, et tu fais confiance, soit tu as vraiment besoin de comprendre cet article, et tu te plonges dans les cours d'analyse fonctionnelle (et aussi de théorie de la mesure, pour la mesure de Borel) pour apprendre ce qui te manque.

Bon travail !

[MissJenny]

" une fonction f est dite "discriminatory" si l'intégration de cette fonction f par rapport à la mesure vaut 0."

non. La fonction est "discriminatoire" si quand l'intégrale par rapport à une mesure mu est nulle, c'est que mu elle-même est nulle. Ou si tu préfères, quand l'intégrale de f par rapport à toute mesure borélienne non nulle est non nulle.

[Loosgin]

gg0 je me suis plongé dans cet article pour ne pas admettre mais comprendre cette proposition : " avec une somme infinie de fonctions de type sigmoïdal de ... ". Mais effectivement, pour bien comprendre ce qui se passe, il me manque de la base...
Je pensais que je pouvais y arriver avec ChatGPT mais il me dit n'importe quoi... Et oui oui, j'avoue (avec un peu de honte) que j'ai utilisé chatGPT pour vous cracher la définition d'en haut :

Définition "mesure de Borel" : Cette mesure est souvent utilisée en théorie de la mesure et en analyse fonctionnelle pour mesurer la taille des ensembles. Elle est définie de telle sorte que les ensembles ouverts ont une mesure positive, tandis que les ensembles fermés ont une mesure nulle.

Merci senoritaJenny pour ta rectification, donc dans l'intégrale est un juste un indicateur pour dire par rapport à quelle variable on intègre.

[MissJenny]

en fait "la" mesure de Borel n'existe pas, il existe "des" mesures de Borel (ou boreliennes) et ce sont toutes les mesures définies sur la tribu borélienne, laquelle tribu est la tribu engendrée par les ouverts (d'un espace topologique donné, mais quand on ne précise pas c'est R ou un R^n). Ici la caractérisation des fonctions "discriminantes" fait référence à l'ensemble des mesures de Borel (un gros ensemble).

[gg0]

Merci de l'info, je me demandais où tu avais pu trouver une telle définition. Une mesure borélienne sur un espace topologique E est simplement une mesure pour laquelle la tribu de base est la tribu engendrée par les ouverts de E (donc éventuellement par les fermés, si on préfère). Les fonctions continues de E dans un espace mesuré sont alors automatiquement mesurables. Comme est continue, elle est mesurable et l'intégrale a un sens.