mesure et integrale

[L-etudiant]

Salut,

j'ai des petites questions sur la mesure de Lebesgue (ici L) que voici :

a) Une partie borélienne bornée de R est-elle toujours de L-mesure finie ?
b) Une partie compacte de R est-elle toujours de L-mesure finie ?
c) Un borélien de R de L-mesure finie peut-il être non borné?
d) Un borélien de R de L-mesure nulle est-il nécessairement fermé?
e) Un ouvert non vide de R peut-il être de L-mesure nulle?
f) Un borélien de R d’intérieur vide peut-il être de L-mesure 5?
g) Un borélien de R d’intérieur non vide peut-il être de L-mesure nulle?
h) Un borélien de R d’intérieur vide est-il nécessairement de L-mesure nulle?
i) Un ouvert dense de R peut-il avoir une L-mesure strictement inférieure à 5?
j) Existe-t-il un ouvert dense de R de L-mesure 5?
k) Un ouvert de L-mesure strictement inférieure à 10^6 peut-il être dense dans R ?

Mes quelques réponses :

a) Oui, soit K le borné alors K est inclus dans [-a ; a] a != 0, d'où L(K) < L( [-a ; a] ) = 2a qui est fini.

b) Je pense qu'il y a un pseudo-piege : faut utiliser a) en disant qu'une partie compacte de R est un fermé borné donc un borélien de R.

c) Oui, N est un borélien (union denom. de singletons) et de mesure nulle.

d) Non, cf c).

e) Non, s'il est non-vide, alors il exite x_0 dedans tel qu'il existe e>0 tel que B(x_0 ; e) soit inclus dans l'ouvert (par def.) et L( B...) = 2e > 0 < L( Ouvert).

Je pense pas avoir fait de fautes, mais la suite je ne sais pas comment faire...

Pouvez-vous m'aider ?

Merci !
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[invite02232301]

Bonjour,
f/Essaie de penser a construire un exemple d'ensemble dont tous les elements sont irrationels.
g/Mime ce que tu as fait en e/
h/Regarde f/
i/Oui, essaye de construire un ouvert contenant les rationnels et de mesure aussi petit que tu veux.
j/Comme i/
k/ Meme question.

[L-etudiant]

Pour la f) vu comme ca c'est tout con... R\Q U [0 ; 5] convient.
La g) je l'avais désolé, je l'ai zappée.
La reponse à h. vient en effet toute seule avec f. C'est non, R, Q et [0 ; 5] sont des boréliens, donc stables par privation et intersection.

Pour i), j'avais pensé à faire quelque chose comme Q inter un ouvert mais c'est faux.

Des questions intermédiaires pour "construire un ouvert contenant les rationnels et de mesure aussi petit que [je] veux" ?

Merci.

[invite02232301]

Numerote tes rationnels ( ce qui est possible) et construit autour de chaque rationnel un petit intervalle (dont la longueur va dependre du rationnel que tu considère) de sorte que la somme des longueurs de ces intervalles soit finie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

annulé ...........

[L-etudiant]

Juste, dans ma reponse, c'est pas U mais inter... (R\Q INTER [0 ; 5])

Soit (q_n), une énumération des rationnels (possible caar Q est dénombrable).

Soit U l'union sur n(dans N* des ]q_n - e/n² ; q_n + e/n²[ (ouvert car union quelconque [meme denom.] d'ouverts).
Et L(U) <= somme ( L( ]q_n - e/n² ; q_n + e/n²[ ) ) [par sous-sigma-additivité des mesures]

<= 2 somme ( e/n² ) = e*pi² /3 tend vers 0 quand e tend vers 0.

Ce qui repond à i. et k.

Pour j, "comme i." je vois pas pourquoi... a moins que ma construction soit fausse et à ce moment la on prend U (ouvert dense de mesure non-nulle) et on fait 5U/ L(U).

[taladris]

d) Un borélien de R de L-mesure nulle est-il nécessairement fermé?

(...)

c) Oui, N est un borélien (union denom. de singletons) et de mesure nulle.

d) Non, cf c).

La reponse est exact, mais pas le contre-exemple. N est bien ferme dans R. Pour un contre-exemple valable, tu peux consider Q.

[L-etudiant]

La reponse est exact, mais pas le contre-exemple. N est bien ferme dans R. Pour un contre-exemple valable, tu peux consider Q.

Oui, c'est vrai ! Je sais meme pas pourquoi j'ai pensé a N... Merci.

[invite02232301]

Pour j, tu y es presque. Une fois que tu as ton ouvert dense U de mesure a avec a<5, il suffit de lui rajouter l'intervalle disons ]0,t[, tu as A_t=Uunion]0,t[ est certainement ouvert, dense, et quand t tend vers 0 sa mesure tend vers a, et sa mesure est supérieure a 6 pour t>6, donc il doit bien y avoir un t pour lequel la mesure de A_t est 5 par un theoreme dont j'ai oublié le nom.

[L-etudiant]

Pour j, tu y es presque. Une fois que tu as ton ouvert dense U de mesure a avec a<5, il suffit de lui rajouter l'intervalle disons ]0,t[, tu as A_t=Uunion]0,t[ est certainement ouvert, dense, et quand t tend vers 0 sa mesure tend vers a, et sa mesure est supérieure a 6 pour t>6, donc il doit bien y avoir un t pour lequel la mesure de A_t est 5 par un theoreme dont j'ai oublié le nom.

OK, sauf que mon ouvert U est de mesure nulle, non ?

[invite02232301]

Un ouvert de mesure nulle?

[L-etudiant]

Un ouvert de mesure nulle?

Oui, j'ai écrit une énormité !
J'ai donc fait une connerie dans "L(U) <= somme ( L( ]q_n - e/n² ; q_n + e/n²[ ) ) [par sous-sigma-additivité des mesures]

<= 2 somme ( e/n² ) = e*pi² /3 tend vers 0 quand e tend vers 0."

Ah ! non, il suffit de fixer e avant.
Donc c'est tout bon pour la j., je fais U'=5 U/L(U) qui est de L-mesure 5.

Merci.