Intégrale sur espace mesuré

[inviteaf8695f1]

Bonjour,

Je suis en train de lire le livre de Durett (Probability Theory and Examples) et je buttais sur un point : le fait de composer une mesure (mu) avec un élément infinitésimal (dy).


(sachant que f est mesurable, mu une mesure etc...)

Je n'ai pas réussi à trouver d'informations là dessus dans des livres de théorie de la mesure. Quelqu'un saurait-il m'éclairer ?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je suis en train de lire le livre de Durett (Probability Theory and Examples) et je buttais sur un point : le fait de composer une mesure (mu) avec un élément infinitésimal (dy).


(sachant que f est mesurable, mu une mesure etc...)?

Je ne connais pas ce livre, mais en lisant ta prose, quelques questions me viennent immédiatement à l'esprit :
– qu'est-ce qu'un élément infinitésimal ?
– dans quels ensembles travaille-t-on ?
– de quelles tribus ces ensembles sont-ils munis ?
– sur quelle tribu la mesure est-elle définie ?
– pour quelle structure est-elle mesurable ?

Une fois le cadre de travail correctement défini, je me demande s'il ne s'agirait pas tout simplement de l'introduction d'une variable muette (il paraît qu'il faut dire symbole mutificatoire...) afin d'introduire la notation en lieu et place du traditionnel .

[inviteaf8695f1]

Merci de ta réponse. Je ne voulais pas trop détailler car ça aurait vite fait un roman.

Je viens de trouver cet énoncé dans Wikipédia, mais sans plus de détail. (ici)

Théorème du transfert, avec X une variable aléatoire et mesurable.


où l'on a défini pour les boréliens B des réels la mesure suivante :


Ce qui m'étonne c'est que je n'ai jamais vu des intégrales du type .
Les seules intégrales que je connais sont du type ou avec une mesure.

[invitecbade190]

Intuitivement , pour voir plus simple, on va se mettre sur la droite muni de la mesure de Lebesgue :
alors :

On peut voir : comme avec et sont très proche l'un de l'autre , et .
donc :

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf8695f1]

Grâce à ton explication, je comprends mieux le principe.

Je suis maintenant à la recherche d'une justification mathématique. Chaque livre utilisait une notation différente, sans la justifier.

Est ce juste une question de notation et donc on aurait cela : ?

[Arkhnor]

Bonjour.

Oui, , et sont des notations pour désigner l'intégrale de par rapport à .
Il n'y a aucune référence ici à des "éléments différentiels", c'est juste une notation.
En revanche, n'a aucun sens.

[inviteaf8695f1]

Merci beaucoup ! C'est tout clair maintenant