Topologie - E-v normés

[invitebe08d051]

Bonsoir,

Je viens de débuter un cours sur la topologie des espaces vectoriels normés, et j'avoue que je ne m'y suis pas encore habitué.

Bref, au fur et à mesure, je fais des exercices de cours que je voudrais votre avis sur quelques points.

Je veux montrer que si deux boules ouvertes ont un point commun, alors elles contiennent toutes deux une même boule ouverte convexe symétrique centrée sur ce point.

Soit un espace vectoriel et .

Soient deux boules et de rayons respectifs et et de centres et .

Supposons l'existence d'un point commun aux deux boules.
Donc et .

Je note: .
Soit alors la boule:

.
Cette boule est ouverte et clairement incluses dans les deux autres boules car si on prend un :

.

Et de même pour .

Pour convexe, j'ai un peu de problèmes, je sais que pour montrer qu'un ensemble est convexe, je dois prendre deux points de cet ensemble et montrer que que tous les points se trouvant "entre ces deux" (géométriquement parlant) appartiennent à cet ensemble.
Mais j'ai du mal à exprimer cela surtout en l'absence de la notion d'ordre.

En fait, j'ai un peu envie d'écrire:
Si je note ces deux points et un scalaire de :



Mais ce qui me tracasse, c'est pourquoi traduit le segment d'extrémités et .

C'était clair dans la droite des réels mais pas ici, même avec la structure d'espace vectoriel.

Qu'en pensez vous ?

Merci

Cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

Une boule (ouverte) est toujours convexe : si je considère la boule , soient . Il faut alors montrer que pour tout , . Tu as , d'où le résultat.

Par contre, que veux-tu dire par "symétrique" ?

[invite10ceed08]

On peut quand meme faire plus simple
L'intersection de deux ouverts est un ouvert (peut etre vide)
Donc l'intersection des deux boules est un ouvert non vide est donc il contient au moins une boule

[invitebe08d051]

Une boule (ouverte) est toujours convexe : si je considère la boule , soient . Il faut alors montrer que pour tout , . Tu as , d'où le résultat.

C'est parfait. Merci beaucoup.
En fait, elle est convexe, qu'il s'agisse d'une boule ouverte ou d'une boule fermée.

Par contre, que veux-tu dire par "symétrique" ?

Je suis autant curieux que vous, je crois qu'il veulent dire symétrique par rapport à son centre.
Mais je ne vois pas comment traduire celà.

On peut quand meme faire plus simple
L'intersection de deux ouverts est un ouvert (peut etre vide)
Donc l'intersection des deux boules est un ouvert non vide est donc il contient au moins une boule

C'est correct, mais à ce stade, dans mon cours, je n'ai pas encore abordé la notion d'ouvert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Je suis autant curieux que vous, je crois qu'il veulent dire symétrique par rapport à son centre.

Une boule est toujours symétrique par rapport à son centre : et sont à la même distance de par rapport auquel ils sont symétriques.

[invitebe08d051]

Une boule est toujours symétrique par rapport à son centre : et sont à la même distance de par rapport auquel ils sont symétriques.

C'est bien ce que j'avais écrit sur mon brouillon. (Par symétrie à la droite des réels)

Merci

[invite57a1e779]

Mais ce qui me tracasse, c'est pourquoi traduit le segment d'extrémités et .

En écrivant : , tu dois te rendre compte que décrit la droite d'origine (pour ), dirigée par , qui contient (pour ) ; pour , on obtient donc le segment d'extrémités et .