Bonsoir,
Je viens de débuter un cours sur la topologie des espaces vectoriels normés, et j'avoue que je ne m'y suis pas encore habitué.
Bref, au fur et à mesure, je fais des exercices de cours que je voudrais votre avis sur quelques points.
Je veux montrer que si deux boules ouvertes ont un point commun, alors elles contiennent toutes deux une même boule ouverte convexe symétrique centrée sur ce point.
Soit un espace vectoriel et .
Soient deux boules et de rayons respectifs et et de centres et .
Supposons l'existence d'un point commun aux deux boules.
Donc et .
Je note: .
Soit alors la boule:
.
Cette boule est ouverte et clairement incluses dans les deux autres boules car si on prend un :
.
Et de même pour .
Pour convexe, j'ai un peu de problèmes, je sais que pour montrer qu'un ensemble est convexe, je dois prendre deux points de cet ensemble et montrer que que tous les points se trouvant "entre ces deux" (géométriquement parlant) appartiennent à cet ensemble.
Mais j'ai du mal à exprimer cela surtout en l'absence de la notion d'ordre.
En fait, j'ai un peu envie d'écrire:
Si je note ces deux points et un scalaire de :
Mais ce qui me tracasse, c'est pourquoi traduit le segment d'extrémités et .
C'était clair dans la droite des réels mais pas ici, même avec la structure d'espace vectoriel.
Qu'en pensez vous ?
Merci
Cordialement
-----