Bonjour,
J'ai essayé de faire quelques exercices à propos de la mesure et l'intégral de Lebesgue pendant la dernière semaine et j'ai quelques doutes.
Il faut dire si les propositions sont vraies ou faux et prouver dans le cas où elle soit vraie, sinon donner un contre-exemple.
1. Soit $f:E\subset\mathbb{R}^n\righta rrow\mathbb{R}^n$ une fonction telle que $|f(x)-f(y)|\le|x-y|$ pour $x,y\in\mathbb{R}^n$, alors $f$ transforme des ensembles de mesure null dans des ensembles de mesure nulle.
2. Si deux fonctions intégrables coïncident sur un emsemble dense, la valeur des intégrales coïncide.
3. Si deux fonctions coïncident sur un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est aussi mesurable.
4. Si $E$ a mesure nulle, alors l'intérieur de $E$ est vide.
5. $f$ est intégrable si et seulement si $|f|$ est intégrable sur $\mathbb{R}^n$.
Quant à la première proposition, $\textbf{je n'ai pas d'idée. Je ne sais que c'est vrai car une fonction lipschitzienne est comme ça mais pas plus}$.
Pour la deuxième, je sais qu'elle est fausse. J'ai pensé de considérer deux fonctions $f,g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ définies par:
\begin{equation*}
f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si $x\in\mathbb{Q}$}\\
0 & \text{si $x\notin\mathbb{Q}$}
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
g(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si $x\in\mathbb{Q}$}\\
\displaystyle{\frac{1}{q}} & \text{si $x\notin\mathbb{Q}$, $q\in\mathbb{N}$}
\end{cases}
\end{equation*}
Ces fonctions coïncident sur $\mathbb{Q}\cap[0,1]$. $\textbf{Ici, je ne sais pas comment prouver que $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ est dense sur $[0,1]$}$.
Par rapport à la troisième, je sais aussi c'est faux. Nous pourrions prendre un ensemble non mesurable $E$ et soit $f=\chi_{E}\cdot\chi_{\mathbb{ I}}$ et $f=g$, où $g$ s'annule sur $\mathbb{Q}$. $\textbf{Je ne sais pas non plus comment montrer que $f$ n'est pas mesurable}$.
Pour la quatrième, $\textbf{je sais qu'elle est vraie mais je n'arrive pas à la prouver}$.
Finalement, $\textbf{je crois que c'est faux si l'on prendre une fonction non mesurable, mais je ne trouve pas un contre-exemple justifié}$.
Merci beaucoup d'avance !
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une fonction telle que