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Mesure et intégrale de Lebesgue



  1. #1
    fmaths

    Mesure et intégrale de Lebesgue


    ------

    Bonjour,
    J'ai essayé de faire quelques exercices à propos de la mesure et l'intégral de Lebesgue pendant la dernière semaine et j'ai quelques doutes.

    Il faut dire si les propositions sont vraies ou faux et prouver dans le cas où elle soit vraie, sinon donner un contre-exemple.


    1. Soit $f:E\subset\mathbb{R}^n\righta rrow\mathbb{R}^n$ une fonction telle que $|f(x)-f(y)|\le|x-y|$ pour $x,y\in\mathbb{R}^n$, alors $f$ transforme des ensembles de mesure null dans des ensembles de mesure nulle.

    2. Si deux fonctions intégrables coïncident sur un emsemble dense, la valeur des intégrales coïncide.

    3. Si deux fonctions coïncident sur un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est aussi mesurable.

    4. Si $E$ a mesure nulle, alors l'intérieur de $E$ est vide.

    5. $f$ est intégrable si et seulement si $|f|$ est intégrable sur $\mathbb{R}^n$.


    Quant à la première proposition, $\textbf{je n'ai pas d'idée. Je ne sais que c'est vrai car une fonction lipschitzienne est comme ça mais pas plus}$.


    Pour la deuxième, je sais qu'elle est fausse. J'ai pensé de considérer deux fonctions $f,g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ définies par:

    \begin{equation*}

    f(x) =

    \begin{cases}

    1 & \text{si $x\in\mathbb{Q}$}\\

    0 & \text{si $x\notin\mathbb{Q}$}

    \end{cases}

    \end{equation*}

    \begin{equation*}

    g(x) =

    \begin{cases}

    1 & \text{si $x\in\mathbb{Q}$}\\

    \displaystyle{\frac{1}{q}} & \text{si $x\notin\mathbb{Q}$, $q\in\mathbb{N}$}

    \end{cases}

    \end{equation*}


    Ces fonctions coïncident sur $\mathbb{Q}\cap[0,1]$. $\textbf{Ici, je ne sais pas comment prouver que $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ est dense sur $[0,1]$}$.


    Par rapport à la troisième, je sais aussi c'est faux. Nous pourrions prendre un ensemble non mesurable $E$ et soit $f=\chi_{E}\cdot\chi_{\mathbb{ I}}$ et $f=g$, où $g$ s'annule sur $\mathbb{Q}$. $\textbf{Je ne sais pas non plus comment montrer que $f$ n'est pas mesurable}$.


    Pour la quatrième, $\textbf{je sais qu'elle est vraie mais je n'arrive pas à la prouver}$.

    Finalement, $\textbf{je crois que c'est faux si l'on prendre une fonction non mesurable, mais je ne trouve pas un contre-exemple justifié}$.

    Merci beaucoup d'avance !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Mesure et intégrale de Lebesgue

    Tentative de remise en forme du message :

    Bonjour,
    J'ai essayé de faire quelques exercices à propos de la mesure et l'intégral de Lebesgue pendant la dernière semaine et j'ai quelques doutes.

    Il faut dire si les propositions sont vraies ou faux et prouver dans le cas où elle soit vraie, sinon donner un contre-exemple.


    1. Soit une fonction telle que pour , alors transforme des ensembles de mesure nulle dans des ensembles de mesure nulle.

    2. Si deux fonctions intégrables coïncident sur un ensemble dense, la valeur des intégrales coïncide.

    3. Si deux fonctions coïncident sur un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est aussi mesurable.

    4. Si a [une ?]mesure nulle, alors l'intérieur de est vide.

    5. est intégrable si et seulement si est intégrable sur .


    Quant à la première proposition, .


    Pour la deuxième, je sais qu'elle est fausse. J'ai pensé de considérer deux fonctions définies par:



    Ces fonctions coïncident sur . Ici, je ne sais pas comment prouver que est dense [sur] dans ? .


    Par rapport à la troisième, je sais aussi c'est faux. Nous pourrions prendre un ensemble non mesurable et soit et , où s'annule sur . .


    Pour la quatrième, .

    Finalement, .

    Merci beaucoup d'avance !

  4. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Mesure et intégrale de Lebesgue

    Et, en éliminant les textes dans les mathbf, et corrigeant des probables erreurs de français :



    Bonjour,
    J'ai essayé de faire quelques exercices à propos de la mesure et l'intégrale de Lebesgue pendant la dernière semaine et j'ai quelques doutes.

    Il faut dire si les propositions sont vraies ou faux et prouver dans le cas où elle soit vraie, sinon donner un contre-exemple.


    1. Soit une fonction telle que pour , alors transforme des ensembles de mesure nulle en des ensembles de mesure nulle.

    2. Si deux fonctions intégrables coïncident sur un ensemble dense, la valeur des intégrales coïncide.

    3. Si deux fonctions coïncident sur un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est aussi mesurable.

    4. Si a une mesure nulle, alors l'intérieur de est vide.

    5. est intégrable si et seulement si est intégrable sur .


    Quant à la première proposition,je n'ai pas d'idée. Je ne sais que c'est vrai car une fonction lipschitzienne est comme ça mais pas plus.


    Pour la deuxième, je sais qu'elle est fausse. J'ai pensé de considérer deux fonctions définies par:



    Ces fonctions coïncident sur . Ici, je ne sais pas comment prouver que est dense dans .


    Par rapport à la troisième, je sais aussi c'est faux. Nous pourrions prendre un ensemble non mesurable et soit et , où s'annule sur . Je ne sais pas non plus comment montrer que f n'est pas mesurable.


    Pour la quatrième, je sais qu'elle est vraie mais je n'arrive pas à la prouver.

    Finalement, je crois que c'est faux si l'on prend une fonction non mesurable, mais je ne trouve pas un contre-exemple justifié.

    Merci beaucoup d'avance !

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Mesure et intégrale de Lebesgue

    Fmaths,

    tu peux avoir facilement le code de ces deux messages en utilisant "répondre avec citation". On ne met pas des $ mais des balises Tex (avant dernier bouton en bas en mode répondre ou mode avancé). je ne suis pas sûr que j'aie retraduit ce que tu voulais écrire, j'ai même laissé ton absurde "Je ne sais que c'est vrai" faute de savoir ce que tu veux dire.

    Tes questions :
    1) Reviens à la définition de "mesure nulle" et "mets les mains dans le cambouis".
    2) Tu t'es compliqué la vie, tu peux prendre simplement g(x) =1. Revois la notion de "partie dense", tu poses une question de débutant, alors que c'est évident.
    3) Un petit effort pour passer de 2 à 3 devrait suffire.
    4) Revenir à la définition de la mesure et à ce qu'elle implique si la mesure est nulle (*). Pourquoi parles-tu d'une fonction, alors que c'est une partie ???

    En conclusion : Tu as fait un bel effort pour rédiger en LaTeX, mais pas assez pour essayer vraiment de faire seul les questions.

    Cordialement.

    (*) Moins évident : la réciproque est-elle vraie ?

  6. A voir en vidéo sur Futura

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