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Coupures de Dedekind



  1. #1
    ph1

    Coupures de Dedekind


    ------

    Bonsoir,
    Le nombre de coupure de dedekind d'un ensemble fini est égal au cardinal de l'ensemble moins 1 (dite moi si je me trompe mais je crois que c'est ça...). Je me suis posé la question suivante : dans un ensemble infini, existe-t-il une relation entre le cardinal de l'ensemble des coupures (de dedekind) de E (donc le ''nombre'' de coupures) et le cardinal de l'ensemble E? Ce n'est a priori pas la même que sur les ensemble fini car sinon cela impliquerai que card(Q)=card(R), de par la méthode de construction formel des réels, ce qui est faux. La solution ne me parait pas très intuitive et je n'ai rien trouvé à ce sujet sur le web, alors merci si vous avez ne serait-ce qu'un début de réponse.
    Cordialement.

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Coupures de Dedekind

    Bonjour,

    La notion de coupure est liée à une relation d'ordre, pas au cardinal, prenez comme exemple Z muni de l'ordre habituel, et Z muni de l'ordre induit par une bijection entre Z et Q.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Oui mais on suppose que E a une relation d'ordre. On pourrait reformuler la question ainsi : soit E un ensemble infini muni d'une relation d'ordre >. Peut on exprimer le nombre de coupure de E (qui serra donc un aleph ou un nombre ordinal) en fonction du cardinal de E?

  5. #4
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Par exemple : pour tout ensemble infini muni d'une relation d'ordre, l'ensemble des coupures de E à un cardinal égal à ℵ(n+1) si card(E)=ℵn.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Coupures de Dedekind

    Relisez mon message #2
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Oui mais on peut quand même construire à partir de E l'ensemble de coupures de E comme étant C=((A,B),(A',B'),(A'',B'')...) avec les (A',B') des coupures de E, et C à un cardinal. Par contre je ne voit pas le rapport avec Z muni de l'ordre induit par une bijection entre Z et Q.

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  10. #7
    Médiat

    Re : Coupures de Dedekind

    Cela veut dire qu'un même ensemble muni de deux relations d'ordre différentes peuvent avoir des ensembles de coupures de cardinal différents ; si vous voulez un autre contrexemple à votre proposition, considérez les coupures de IR
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Oui merci.

  12. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Coupures de Dedekind

    Un autre exemple : = définit une relation d'ordre sur l'ensemble {0,1,2}. Combien de coupures de Dedekind ? et si on prend l'ordre habituel des entiers ?

    Cordialement.

  13. #10
    Tryss2

    Re : Coupures de Dedekind

    Edit : oula, j'ai du mal moi aujourd'hui -_-'
    Dernière modification par Tryss2 ; 08/04/2021 à 10h14.

  14. #11
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Avec l'ordre habituel des entiers ça donne 2 coupures ({0,1},{2}) et ({0},{1,2}) mais je ne comprend pas en quoi = induit une relation d'ordre. Une relation d'équivalence oui mais pour la relation d'ordre...? Juste petite question y a t il une différence entre ({0},{1},{2}) et {0,1,2}?
    Dernière modification par ph1 ; 08/04/2021 à 17h28.

  15. #12
    Médiat

    Re : Coupures de Dedekind

    Citation Envoyé par ph1 Voir le message
    Avec l'ordre habituel des entiers ça donne 2 coupures ({0,1},{2}) et ({0},{1,2})
    Oui
    mais je ne comprend pas en quoi = induit une relation d'ordre. Une relation d'équivalence oui mais pour la relation d'ordre...?
    Si = est bien une relation d'ordre et une relation d'équivalence, en général (toujours ?), pour parler de coupures sur un ensemble il faut une relation d'ordre totale

    Juste petite question y a t il une différence entre ({0},{1},{2}) et {0,1,2}?
    oui, ces deux ensembles n'ont pas les mêmes éléments
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Oui mais en quoi = est une relation d'ordre?

  18. #14
    GBZM

    Re : Coupures de Dedekind

    Bonsoir,

    C'est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. Bref, une relation d'ordre.

  19. #15
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Oui merci GBZM pour le rappel de la définition (je devrai peut être relire mon cours encore une fois...). Mais du coup pour les coupures avec = en fait il n'y en a pas?

  20. #16
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Coupures de Dedekind

    C'est ça !

    Dans quel cadre t'intéresses-tu à la notion de coupure de Dedekind ?

    Cordialement.

  21. #17
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Bonsoir,
    En fait je suis en 4° et du coup comme j'apprend un peu ce que je peux et comme je peux mon apprentissage est assez hétéroclite, mais ces temps ci j'étudie plus particulièrement tout ce qui touche à la théorie des ensemble (notamment tout ce qui est nombres surréel, p-adique, pour le coup la construction formel de R...) mais je ne m'intéressait pas particulièrement à la notion de coupure dans un cadre précis. En tout cas merci beaucoup de m'avoir aider à mieux comprendre cette notion !

  22. #18
    Médiat

    Re : Coupures de Dedekind

    Vous pouvez regarder là :
    Images attachées Images attachées
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  24. #19
    ph1

    Re : Coupures de Dedekind

    Merci beaucoup!

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