Coupures de Dedekind

[ph1]

Bonsoir,
Le nombre de coupure de dedekind d'un ensemble fini est égal au cardinal de l'ensemble moins 1 (dite moi si je me trompe mais je crois que c'est ça...). Je me suis posé la question suivante : dans un ensemble infini, existe-t-il une relation entre le cardinal de l'ensemble des coupures (de dedekind) de E (donc le ''nombre'' de coupures) et le cardinal de l'ensemble E? Ce n'est a priori pas la même que sur les ensemble fini car sinon cela impliquerai que card(Q)=card(R), de par la méthode de construction formel des réels, ce qui est faux. La solution ne me parait pas très intuitive et je n'ai rien trouvé à ce sujet sur le web, alors merci si vous avez ne serait-ce qu'un début de réponse.
Cordialement.
-----

[Médiat]

Bonjour,

La notion de coupure est liée à une relation d'ordre, pas au cardinal, prenez comme exemple Z muni de l'ordre habituel, et Z muni de l'ordre induit par une bijection entre Z et Q.

[ph1]

Oui mais on suppose que E a une relation d'ordre. On pourrait reformuler la question ainsi : soit E un ensemble infini muni d'une relation d'ordre >. Peut on exprimer le nombre de coupure de E (qui serra donc un aleph ou un nombre ordinal) en fonction du cardinal de E?

[ph1]

Par exemple : pour tout ensemble infini muni d'une relation d'ordre, l'ensemble des coupures de E à un cardinal égal à ℵ_(n+1) si card(E)=ℵ_n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Relisez mon message #2

[ph1]

Oui mais on peut quand même construire à partir de E l'ensemble de coupures de E comme étant C=((A,B),(A',B'),(A'',B'')...) avec les (A',B') des coupures de E, et C à un cardinal. Par contre je ne voit pas le rapport avec Z muni de l'ordre induit par une bijection entre Z et Q.

[Médiat]

Cela veut dire qu'un même ensemble muni de deux relations d'ordre différentes peuvent avoir des ensembles de coupures de cardinal différents ; si vous voulez un autre contrexemple à votre proposition, considérez les coupures de IR

[ph1]

Oui merci.

[gg0]

Un autre exemple : = définit une relation d'ordre sur l'ensemble {0,1,2}. Combien de coupures de Dedekind ? et si on prend l'ordre habituel des entiers ?

Cordialement.

[invite23cdddab]

Edit : oula, j'ai du mal moi aujourd'hui -_-'

[ph1]

Avec l'ordre habituel des entiers ça donne 2 coupures ({0,1},{2}) et ({0},{1,2}) mais je ne comprend pas en quoi = induit une relation d'ordre. Une relation d'équivalence oui mais pour la relation d'ordre...? Juste petite question y a t il une différence entre ({0},{1},{2}) et {0,1,2}?

[Médiat]

Avec l'ordre habituel des entiers ça donne 2 coupures ({0,1},{2}) et ({0},{1,2})

Oui

mais je ne comprend pas en quoi = induit une relation d'ordre. Une relation d'équivalence oui mais pour la relation d'ordre...?

Si = est bien une relation d'ordre et une relation d'équivalence, en général (toujours ?), pour parler de coupures sur un ensemble il faut une relation d'ordre totale

Juste petite question y a t il une différence entre ({0},{1},{2}) et {0,1,2}?

oui, ces deux ensembles n'ont pas les mêmes éléments

[ph1]

Oui mais en quoi = est une relation d'ordre?

[GBZM]

Bonsoir,

C'est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. Bref, une relation d'ordre.

[ph1]

Oui merci GBZM pour le rappel de la définition (je devrai peut être relire mon cours encore une fois...). Mais du coup pour les coupures avec = en fait il n'y en a pas?

[gg0]

C'est ça !

Dans quel cadre t'intéresses-tu à la notion de coupure de Dedekind ?

Cordialement.

[ph1]

Bonsoir,
En fait je suis en 4° et du coup comme j'apprend un peu ce que je peux et comme je peux mon apprentissage est assez hétéroclite, mais ces temps ci j'étudie plus particulièrement tout ce qui touche à la théorie des ensemble (notamment tout ce qui est nombres surréel, p-adique, pour le coup la construction formel de R...) mais je ne m'intéressait pas particulièrement à la notion de coupure dans un cadre précis. En tout cas merci beaucoup de m'avoir aider à mieux comprendre cette notion !

[Médiat]

Vous pouvez regarder là :

[ph1]

Merci beaucoup!