Cohomologie de l'espace projectif complexe

invite52487760 · 30/08/2013, 19h41

Bonsoir à tous,

Pourriez vous me montrer comment on calcule la cohomologie de l'espace projective complexe : $\text{[math]}$ à l'aide des suites de Mayer - Vietoris ?

Merci d'avance.

**taladris** · 31/08/2013, 05h39

Salut!

Dois-tu vraiment utiliser Mayer-Vietoris? Parce que c'est immediat en utilisant une decomposition en CW-complexe: il existe une decomposition de $\text{[math]}$ avec une cellule dans chaque dimension paire 0,2,4,...,2n (et aucune dans les autres dimensions).

Sinon, il me semble qu'avec une suite spectrale et la connaissance de la cohomologie des spheres, on obtient le resultat assez rapidement.

Cordialement

invite52487760 · 31/08/2013, 16h45

Bonjour,
Merci pour cette réponse @taladris.

Peux tu me montrer comment faire pour calculer $\text{[math]}$ dans les trois cas que tu cites : Mayer - Vietoris, Décomposition de CW- complexe, et à l'aide des suites spectrales et la cohomologies des sphères. Je viens de débuter de manière sérieuse l'apprentissage de la topologie algébrique, je n'ai que quelques connaissances dans le domaine, je ne vois pas encore comment aborder ce problème.
Merci infiniment pour le temps que tu prendras pour me rédiger la réponse. Je ne trouve ça dans aucun bouquin, je ne sais pas dans quels bouquins tu as appris ça.
Merci d'avance.

**taladris** · 01/09/2013, 05h31

Salut,

la topologie algebrique, c'est tres interessant et tres utile, mais c'est une gageure a expliquer. En particulier sur un forum

Structure de CW-complexe de $\text{[math]}$ :

Note que $\text{[math]}$ est un point (une 0-cellule) et $\text{[math]}$ est une sphere (une 0-cellule et une 2-cellule).

Pour un n quelconque, tu peux proceder par recurrence: $\text{[math]}$ se plonge dans $\text{[math]}$ par l'homeomorphisme (sur son image) $\text{[math]}$ . Le complement de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est homeomorphe a $\text{[math]}$ , une 2(n+1)-cellule ouverte.

Il reste a verifier les details pour voir qu'on a bien une structure de CW-complexe.

Tu peux aussi regarder le livre Algebraic Topology d'Allen Hatcher qui est une reference sur le sujet. Le livre est disponible gratuitement sur sa page web.

Cordialement,

Edit: connais-tu la geometrie algebrique? $\text{[math]}$ est un exemple de variete torique, ie une variete algebrique avec une action du tore compact $\text{[math]}$ . Il existe des techniques puissantes pour calculer la cohomologie des varietes toriques.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**taladris** · 01/09/2013, 05h56

Par Mayer-Vietoris (MV):

La encore, il faut proceder par recurrence. Par simplicite, on note $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et on decompose $\text{[math]}$ en une union d'ouverts $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Puis on denote $\text{[math]}$ l'union partielle $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ . L'idee est de calculer la cohomologie de chaque $\text{[math]}$ en fonction de celle de $\text{[math]}$ en utilisant MV. Pour cela, tu peux prouver assez facilement que:

Assertion 1: $\text{[math]}$ est connexe pour tout k, et donc $\text{[math]}$ pour tout k.

Assertion 2: $\text{[math]}$ est homeomorphe a $\text{[math]}$ pour tout j.

Assertion 3: $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est homotope a une sphere de dimension (2k+1).

En utilisant MV pour $\text{[math]}$ , on peut montrer par recurrence que:

Assertion 4: $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et 0 sinon.

L'assertion 4 est assez facile a prouver pour la cohomologie a coefficient reels (il suffit de compter les dimensions/nombres de Betti). J'espere qu'il n'y a pas de probleme de torsion pour des coefficients entiers.

Cordialement

PS: Il y a peut-etre une application de Mayer-Vietoris beaucoup plus simple pour effectuer le calcul mais je ne la connais/trouve pas. L'idee utilisee est de construire une filtration, ie une suite (eventuellement infinie) d'espaces topologiques de plus en plus grands dont la limite (=l'union croissante) est l'espace etudiee. On utilise les filtrations pour construire certaines suites spectrales.

**taladris** · 01/09/2013, 06h03

Par les suites spectrales:

Il est hors de question de detailler les suites spectrales si tu ne maitrises pas encore Mayer-Vietoris ou les bases de topologie algebriques. C'est beaucoup, beaucoup trop long! Et accessoirement, je ne maitrise pas tous les aspects

. Une reference sur les suites spectrales est un livre en preparation de Hatcher ( une ebauche consequente est disponible sur sa page web); il me semble qu'il y traite le calcul de la cohomologie de $\text{[math]}$ par suites spectrales mais le cas complexe devrait etre similaire.

Une autre reference classique sur les suites spectrales est User's guide to spectral sequences by John McCleary. Alternativement, le livre Toric Varieties de Cox, Little et Schenk a un appendice plutot clair et synthetique sur les suites spectrales pour le geometre (algebrique) avec peu de connaissance en topologie algebrique. Quand le livre n'etait pas complet, une version gratuite du livre etait disponible gratuitement sur la page web de Cox; je ne sais pas si c'est toujours le cas.

Cordialement

invite52487760 · 01/09/2013, 15h36

Merci @taladris pour le temps que tu m'as consacré pour ce problème. Je vais essayer de comprendre ce que tu m'as écrit à tête reposé ce soir.
Merci beaucoup.

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