équivalent à partir du lemme de césaro

[Ana_20]

Soit la suite (Un) définit par U(n+1)= Un+ exp(-Un)

je trouve lim Un = + infini

soit V(n) = exp(-un)
calculer lim (1/V(n+1)) -(1/(V(n))!
je trouve 1

Et ensuite trouver en appliquant le théorème de césaro a Vn un équivalent simple de Un ! je sais bien qui Vn= U(n+1) - Un et que lim Vn =0 ! mais en appliquant le théorème de césaro cela fait (Un-Uo)/n = 0 et donc je trouve du coup que Un équivalent a 0 ou a U0 or c'est imposible !!

en espérant que vous pourrez m'aider !
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[Tiky]

Bonjour,

On te donne un indice important en te demandant de calculer la limite de . Il faut appliquer le théorème de Cesàro (et non Césaro) à .
Tu obtiens que tend vers 1. C'est-à-dire que équivaut à . Or .
Les équivalents passent parfois aux logarithmes comme on aime le dire.

[Ana_20]

Ah d'accord parce que j'avais bien essayé cela également mais il me semblait que la composition avec les équivalents était interdit !

[Tiky]

Il faut bien démontrer quelque chose à la fin. La composition avec les équivalents ne fonctionne pas toujours. Bref il faut que tu prouves que si équivaut à , alors équivaut à .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ana_20]

je veux bien mais je n'ai jamais vu comment faire ! parce que déjà moi dans mon cours c'est marqué que la composition avec les équivalents est interdite...

[Ana_20]

j'ai trouvé cette discussion : http://forums.futura-sciences.com/ma...uivalents.html mais dans sa démo il y a un problème avec 0 c'est une forme indéterminée !

[Tiky]

Je ne sais pas ce que tu veux dire par interdit... ce qui est vrai est autorisé, en mathématiques du moins. Dans le lien que tu donnes, il est dit qu'il y a un problème si l'équivalent tend vers 1 et non vers 0.
Bref supposons que équivaut à , c'est-à-dire . La suite est donc strictement positive à partir d'un certain rang. On peut supposer sans perte de généralité qu'elle est strictement positive. On a alors pour tout entier , tend vers . Donc tend aussi vers 0 et donc tend vers 1.

[Ana_20]

d'accord merci !