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Aire d'un lampion



  1. #1
    TheScientist05

    Question Aire d'un lampion


    ------

    Bonsoir,

    Exercice :

    On considère un rectangle de longueur 2pi et de largeur 1 quadrillé par mn rectangles avec n rectangles en longueur et m en largeur.
    Ce rectangle est courbé en un cylindre de hauteur 1 et de rayon 1 ; chaque petit rectangle curviligne possède 4 sommets et un centre (appartenant au cylindre) et définit donc 4 triangles plans.
    Le lampion est le polyèdre formé de ces 4mn triangles.

    Montrer que l'aire totale est Am,n = 2nsin(pi/2n)(1+cos(pi/2n)*sqrt(1+(m/n²)²(4n²sin²(pi/2n))²)

    J'aimerais avoir quelques pistes ...

    Merci

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Aire d'un lampion

    Bonsoir.

    Bizarre, bizarre ! Ton rectangle a une aire égale à 2pi, si on ne transforme pas les dimensions, l'aire reste la même.

    Cordialement.

    Serait-ce l'aire du cylindre ? Sans une figure, difficile de savoir.

  4. #3
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Serait-ce l'aire du cylindre ? Sans une figure, difficile de savoir.
    Désolé, je n'ai pas précisé.
    C'est bien l'aire du cylindre qu'il faut calculer ...
    Pour le dessin, cliquer ici
    Dernière modification par TheScientist05 ; 28/03/2016 à 21h04.

  5. #4
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Up ! ! ! !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Personne ?

  8. #6
    Resartus

    Re : Aire d'un lampion

    Quelques pistes pour faire le calcul :
    Les triangles ne peuvent pas être verticaux une fois réalisé le lampion, mais ils devront être inclinés alternativement dans un sens et dans l'autre pour qu'on puisse réaliser la figure
    Par contre, vu de haut on a un polygone à n cotés, dont chaque coté a une longueur de 2pi/n. A noter que si on prend une coupe situé 1/2m plus haut, on a un autre polygone, de même circonférence mais décalé d'un angle de pi/n.

    Première étape : trouver la circonférence du cercle inscrit à ces polygones...

    Deuxième étape :
    Vu en coupe verticale, il y a 2m segments inclinés alternativement dans un sens et dans l'autre, chacun ayant une extrémité sur le cercle inscrit vu précédemment, et l'autre extrémité sur le milieu du coté du polygone. Utiliser Pythagore pour trouver la hauteur, connaissant l'hypothènuse (longueur du segment =1/2m) et la valeur du coté horizontal

    Dernière étape : trouver l'aire du lampion
    Verticalement, pas d'ambiguité : c'est la hauteur du lampion. Horizontalement, on peut utiliser la circonference du cercle inscrit , mais on aurait pu aussi décider de prendre un périmètre correspondant a un rayon moyen entre le cercle et la largeur du polygone
    Dernière modification par Resartus ; 05/04/2016 à 08h56.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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  10. #7
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Alors pour la première étape :

    Théorème du cercle inscrit :
    Périmètre du cercle = (Périmètre du polygone*Aire du cercle)/(Aire du polygone)

    Périmètre du polygone = 2pi
    Aire du cercle = pi*R²
    Aire du polygone = pi*R

    Donc périmètre du cercle = 2Rpi ?
    Dernière modification par TheScientist05 ; 25/04/2016 à 17h05.

  11. #8
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Mais au fait, on pouvait directement trouver le périmètre du cercle ...
    Le diamètre : 2pi/pi = 2
    Le rayon : 1

    La longueur est 2pi. Donc le périmètre est de 2pi !

  12. #9
    Resartus

    Re : Aire d'un lampion

    Où avez-vous vu que le périmètre d'un polygone inscrit est le même que celui du cercle? Quel est votre niveau d'études?
    Ne vous lancez pas dans des exercices compliqués si vous ne maitrisez pas la géométrie élémentaire...
    Dernière modification par Resartus ; 25/04/2016 à 19h47.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  13. #10
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Où avez-vous vu que le périmètre d'un polygone inscrit est le même que celui du cercle?
    http://www.michelricci.fr/Le%20cercle%20inscrit.htm

    Quel est votre niveau d'études?
    Maths Sup

    J'ai eu aussi un doute ... ça ne pouvait pas être aussi simple.
    J'ai finalement (j'espère) avoir trouvé le périmètre d'un cercle circonscrit au polygone régulier : 2nRsin(2pi/n).
    Pourquoi prendre le périmètre d'un cercle inscrit plutôt que circonscrit ?
    Dernière modification par TheScientist05 ; 25/04/2016 à 20h11.

  14. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Aire d'un lampion

    en fait tous les "rectangles" sont en quatre morceaux. non ?
    le cylindre inscrit contient tous les milieux des bords haut et bas de chacun.
    le cylindre circoncit contient tous les "centres" ainsi que tous les cotés gauche et droit.
    si je comprend la figure.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Aire d'un lampion

    du coup chaque rectangle initial deviendrait une pyramide:
    de base (1/m;2pi/n) et de hauteur (1-cos(pi/n))
    mais je n'obtiens pas du tout ton résultat.( qui me semble très compliqué d'apparence )
    je doit mal comprendre la figure
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  17. #13
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion


  18. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Aire d'un lampion

    c'est celle que j'ai vu.
    donc, tous les pseudo rectangle sont identiques et de nb nm, et sont des pyramides
    les cotés valent bien 1/m et 2pi/n
    reste la valeur de la hauteur de chaque pyramide en son centre.
    qui pour ma part vaut 1-cos(pi/n) ( moitié de l'angle ).

    la question initiale est elle posée ainsi avec toute l'équation que tu décris ?
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #15
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    la question initiale est elle posée ainsi avec toute l'équation que tu décris ?
    Oui. D'ailleurs il y a une petit erreur dans la formule.
    La bonne formule : 2nsin(pi/2n)(1+cos((pi*sqrt(1+(4mn²sin² (pi/2n)²/n²)²)/2n)
    Dernière modification par TheScientist05 ; 27/04/2016 à 12h07.

  20. #16
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    La bonne formule : 2nsin(pi/2n)(1+cos((pi*sqrt{1+[4mn²sin²(pi/2n)²/n²]²}/2n))

    Je pense qu'on n'est pas loin ! On a déjà le début ! Le problème, c'est la racine !
    Dernière modification par TheScientist05 ; 27/04/2016 à 12h14.

  21. #17
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Aire d'un lampion

    Citation Envoyé par TheScientist05 Voir le message
    Je pense qu'on n'est pas loin ! On a déjà le début ! Le problème, c'est la racine !
    je ne sais pas !?
    es tu d'accord avec les dimensions des pyramides que je trouve ?
    et comment trouves tu la première partie de la formule ?
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #18
    Resartus

    Re : Aire d'un lampion

    Bonjour,
    Cette nouvelle formule me semble encore plus fausse que la précédente. Je ne vois pas comment on peut se retrouver avec des racines dans l'angle, c'est à dire à l'intérieur du cosinus.

    Il vaudrait mieux la joindre comme image, car j'ai l'impression que le forum supprime certains caractères

    A titre indicatif, voici le calcul "à 'envers" c'est à dire en partant de la surface du lampion pour arriver à la surface du papier.

    https://archive.org/stream/gesammelt...e/310/mode/2up
    Dernière modification par Resartus ; 27/04/2016 à 12h36.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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  24. #19
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Aire d'un lampion

    je n'ai pas l'impression de voir exactement le même lampion !?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #20
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Oulala ...
    J'ai mal recopié encore une fois !

    Aire : [2nsin(pi/2n)][1+cos(pi/2n)*(sqrt(1 + m²((2nsin(pi/2n))/n)^4)))]

  26. #21
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    et comment trouves tu la première partie de la formule ?
    On sait que le périmètre d'un cercle circonscrit au polygone régulier : 2nRsin(2pi/n) avec R le rayon. R vaudrait 1.
    Mais l'angle à l'intérieur du sinus n'est pas tout à fait le même.
    Ce n'est pas "2pi/n" mais "pi/2n"

  27. #22
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    J'ai peut-être trouvé l'aire du polygone à n côtés.
    En utilisant les formules trigonométriques (CAH-SOH-TOA) : Aire = nR²cos(pi/n)sin(pi/n) avec R le rayon.
    D'après l'énoncé, R = 1.
    Donc A = ncos(pi/n)sin(pi/n)

  28. #23
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    up ! ! ! !

  29. #24
    TheScientist05

    Re : Aire d'un lampion

    Je n'y arrive vraiment pas !

  30. Publicité

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