Aire d'un lampion

[TheScientist05]

Bonsoir,

Exercice :

On considère un rectangle de longueur 2pi et de largeur 1 quadrillé par mn rectangles avec n rectangles en longueur et m en largeur.
Ce rectangle est courbé en un cylindre de hauteur 1 et de rayon 1 ; chaque petit rectangle curviligne possède 4 sommets et un centre (appartenant au cylindre) et définit donc 4 triangles plans.
Le lampion est le polyèdre formé de ces 4mn triangles.

Montrer que l'aire totale est A_m,n = 2nsin(pi/2n)(1+cos(pi/2n)*sqrt(1+(m/n²)²(4n²sin²(pi/2n))²)

J'aimerais avoir quelques pistes ...

Merci
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[gg0]

Bonsoir.

Bizarre, bizarre ! Ton rectangle a une aire égale à 2pi, si on ne transforme pas les dimensions, l'aire reste la même.

Cordialement.

Serait-ce l'aire du cylindre ? Sans une figure, difficile de savoir.

[TheScientist05]

Serait-ce l'aire du cylindre ? Sans une figure, difficile de savoir.

Désolé, je n'ai pas précisé.
C'est bien l'aire du cylindre qu'il faut calculer ...
Pour le dessin, cliquer ici

[TheScientist05]

Up ! ! ! !

[A voir en vidéo sur Futura]

[TheScientist05]

Personne ?

[Resartus]

Quelques pistes pour faire le calcul :
Les triangles ne peuvent pas être verticaux une fois réalisé le lampion, mais ils devront être inclinés alternativement dans un sens et dans l'autre pour qu'on puisse réaliser la figure
Par contre, vu de haut on a un polygone à n cotés, dont chaque coté a une longueur de 2pi/n. A noter que si on prend une coupe situé 1/2m plus haut, on a un autre polygone, de même circonférence mais décalé d'un angle de pi/n.

Première étape : trouver la circonférence du cercle inscrit à ces polygones...

Deuxième étape :
Vu en coupe verticale, il y a 2m segments inclinés alternativement dans un sens et dans l'autre, chacun ayant une extrémité sur le cercle inscrit vu précédemment, et l'autre extrémité sur le milieu du coté du polygone. Utiliser Pythagore pour trouver la hauteur, connaissant l'hypothènuse (longueur du segment =1/2m) et la valeur du coté horizontal

Dernière étape : trouver l'aire du lampion
Verticalement, pas d'ambiguité : c'est la hauteur du lampion. Horizontalement, on peut utiliser la circonference du cercle inscrit , mais on aurait pu aussi décider de prendre un périmètre correspondant a un rayon moyen entre le cercle et la largeur du polygone

[TheScientist05]

Alors pour la première étape :

Théorème du cercle inscrit :
Périmètre du cercle = (Périmètre du polygone*Aire du cercle)/(Aire du polygone)

Périmètre du polygone = 2pi
Aire du cercle = pi*R²
Aire du polygone = pi*R

Donc périmètre du cercle = 2Rpi ?

[TheScientist05]

Mais au fait, on pouvait directement trouver le périmètre du cercle ...
Le diamètre : 2pi/pi = 2
Le rayon : 1

La longueur est 2pi. Donc le périmètre est de 2pi !

[Resartus]

Où avez-vous vu que le périmètre d'un polygone inscrit est le même que celui du cercle? Quel est votre niveau d'études?
Ne vous lancez pas dans des exercices compliqués si vous ne maitrisez pas la géométrie élémentaire...

[TheScientist05]

Où avez-vous vu que le périmètre d'un polygone inscrit est le même que celui du cercle?

http://www.michelricci.fr/Le%20cercle%20inscrit.htm

Quel est votre niveau d'études?

Maths Sup

J'ai eu aussi un doute ... ça ne pouvait pas être aussi simple.
J'ai finalement (j'espère) avoir trouvé le périmètre d'un cercle circonscrit au polygone régulier : 2nRsin(2pi/n).
Pourquoi prendre le périmètre d'un cercle inscrit plutôt que circonscrit ?

[ansset]

en fait tous les "rectangles" sont en quatre morceaux. non ?
le cylindre inscrit contient tous les milieux des bords haut et bas de chacun.
le cylindre circoncit contient tous les "centres" ainsi que tous les cotés gauche et droit.
si je comprend la figure.

[ansset]

du coup chaque rectangle initial deviendrait une pyramide:
de base (1/m;2pi/n) et de hauteur (1-cos(pi/n))
mais je n'obtiens pas du tout ton résultat.( qui me semble très compliqué d'apparence )
je doit mal comprendre la figure

[TheScientist05]

Pour la figure : http://www.mathcurve.com/polyedres/lampion/lampion.gif

[ansset]

c'est celle que j'ai vu.
donc, tous les pseudo rectangle sont identiques et de nb nm, et sont des pyramides
les cotés valent bien 1/m et 2pi/n
reste la valeur de la hauteur de chaque pyramide en son centre.
qui pour ma part vaut 1-cos(pi/n) ( moitié de l'angle ).

la question initiale est elle posée ainsi avec toute l'équation que tu décris ?
Cdt

[TheScientist05]

la question initiale est elle posée ainsi avec toute l'équation que tu décris ?

Oui. D'ailleurs il y a une petit erreur dans la formule.
La bonne formule : 2nsin(pi/2n)(1+cos((pi*sqrt(1+(4mn²sin² (pi/2n)²/n²)²)/2n)

[TheScientist05]

La bonne formule : 2nsin(pi/2n)(1+cos((pi*sqrt{1+[4mn²sin²(pi/2n)²/n²]²}/2n))

Je pense qu'on n'est pas loin ! On a déjà le début ! Le problème, c'est la racine !

[ansset]

Je pense qu'on n'est pas loin ! On a déjà le début ! Le problème, c'est la racine !

je ne sais pas !?
es tu d'accord avec les dimensions des pyramides que je trouve ?
et comment trouves tu la première partie de la formule ?
Cdt

[Resartus]

Bonjour,
Cette nouvelle formule me semble encore plus fausse que la précédente. Je ne vois pas comment on peut se retrouver avec des racines dans l'angle, c'est à dire à l'intérieur du cosinus.

Il vaudrait mieux la joindre comme image, car j'ai l'impression que le forum supprime certains caractères

A titre indicatif, voici le calcul "à 'envers" c'est à dire en partant de la surface du lampion pour arriver à la surface du papier.

https://archive.org/stream/gesammelt...e/310/mode/2up

[ansset]

je n'ai pas l'impression de voir exactement le même lampion !?

[TheScientist05]

Oulala ...
J'ai mal recopié encore une fois !

Aire : [2nsin(pi/2n)][1+cos(pi/2n)*(sqrt(1 + m²((2nsin(pi/2n))/n)^4)))]

[TheScientist05]

et comment trouves tu la première partie de la formule ?

On sait que le périmètre d'un cercle circonscrit au polygone régulier : 2nRsin(2pi/n) avec R le rayon. R vaudrait 1.
Mais l'angle à l'intérieur du sinus n'est pas tout à fait le même.
Ce n'est pas "2pi/n" mais "pi/2n"

[TheScientist05]

J'ai peut-être trouvé l'aire du polygone à n côtés.
En utilisant les formules trigonométriques (CAH-SOH-TOA) : Aire = nR²cos(pi/n)sin(pi/n) avec R le rayon.
D'après l'énoncé, R = 1.
Donc A = ncos(pi/n)sin(pi/n)

[TheScientist05]

up ! ! ! !

[TheScientist05]

Je n'y arrive vraiment pas !