Loi trapèze explicite

[invitee5004420]

Bonjour à tous,

Je suis en train de travailler sur un exercice de mathématique que j'ai défini ci-dessous. Je voulais savoir si je pourrais avoir vous commentaires quant à mon travail et la cohérence des calculs ?

Merci à vous pour votre aide !!

admin 123

Enoncé :


Soit la méthode des trapèzes explicite pour le problème de Cauchy y’(t) = f(t, y(t))

k1 = f(tn, y(tn)) k2 = f(tn+1, y(tn) + hk1) yn+1 = yn +h/2.(k1 + k2) (1)

où l’on note yn l’approximation de y au temps tn.

Soit le problème (2) suivant

y’(t) = -y(t)

Et : y(0) = y0


Dans tout l’exercice on appelle h le pas de temps utilisé.



Question : Décrire, pour le problème (2), comment on passe de l’instant tn à tn+1 avec la méthode des
trapèzes explicites (1).


Voilà mon travail :

yn+1 = yn + h/2.(y’(tn) + y’(tn) + h.y’(tn))
<=>
yn+1 = yn + h/2.(-y(tn) –y(tn) +h y(tn))
<=>
yn+1 = yn (-h²/2 –h +1)^n+1
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[invitee5004420]

exo 1.pdfexo 2.pdf

Je viens de m'apercevoir que je pouvais ajouter des PJ sur ce forum....

Je vous ai donc mis en P.J mon travail pour tout l'exercice. Pour résumer, voici l'énoncé complet de cet exo ci-dessous :

Merci encore pour votre aide !!

Enoncé :


Soit la méthode des trapèzes explicite pour le problème de Cauchy y’(t) = f(t, y(t))

k1 = f(tn, y(tn)) k2 = f(tn+1, y(tn) + hk1) yn+1 = yn +h/2.(k1 + k2) (1)

où l’on note yn l’approximation de y au temps tn.

Soit le problème (2) suivant

y’(t) = -y(t)

Et : y(0) = y0


Dans tout l’exercice on appelle h le pas de temps utilisé.



Question 1 : Décrire, pour le problème (2), comment on passe de l’instant tn à tn+1 avec la méthode des
trapèzes explicites (1).

Question 2 : Calculer la fonction de stabilité S définie de la manière suivante :

yn+1 = S(h).yo

Question 3 : Calculer, s’il existe, le seuil de stabilité s de la méthode des trapèzes explicite (1), définit tel que :

∀x tel que 0 < x < s, |S(x)| < 1