1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

**erik** · 09/08/2016, 13h35

Envoyé par andretou

Pour quelle raison le même règle ne pourrait-elle pas s'appliquer aux suites divergentes ?

Comme le disais Médiat Par définition l'addition est définie comme une opération qui à Deux éléments en fait correspondre un troisième. Du fait de l'associativité de l'addition et par commodité d'écriture on se permet d'écrire des chose comme a + b +c, mais il faut rester méfiant et attentif quand on commence à additionner un nombre infini de termes (sous peine d'écrire n'importe quoi) parce que là on s'éloigne fortement de la définition de ce qu'est une addition.

Et de plus l'addition est définie comme une opération interne (la somme de deux entiers donne un entier), si tu l'utilises pour écrire A=1+1+1+1+... ce n'est plus une opération interne puisque A n'est pas un entier. La on est complétement en dehors de la définition de l'addition !

**Deedee81** · 09/08/2016, 13h40

Salut,

Pour compléter un peu.

EDIT zut, cette fois c'est moi qui ait croisé erik

Désolé

Envoyé par andretou

Je ne comprends pas pourquoi selon toi une addition n'est valide que si elle s'applique à seulement 2 termes. Tu admets pourtant que dans le cas des suites convergentes l'addition d'une infinité de termes est autorisée. Pour quelle raison le même règle ne pourrait-elle pas s'appliquer aux suites divergentes ?

L'addition n'est définie que pour 2 termes. ni plus ni moins.
A partir de là, on peut par exemple la définir pour trois termes (avec le petit abus d'écriture dont parle Médiat).
Etc...

Mais ça reste un nombre fini de terme.

Pour parler d'une addition d'une suite infinie de termes, ça ne marche plus. Que ce soit convergent ou pas.
La définition standard fait alors appel à la notion de limite (avec tout ce qui tourne autour, comme la topologie, ce qui n'est pas nécessairement trivial). Et il faut évidemment que la limite... existe !!!! Les séries convergentes sont celles dont la limite existe. Si elles ne convergent pas : pas de limite, pas d'addition.

Après, il reste possible de définir en étendant le domaine des nombres. Ca se fait avec des trucs comme les surréels, etc. Pourquoi pas.
Mais alors il faut étudier comment définir de manière consistante les règles qu'on va utiliser, comme l'addition.
Et le calcul que tu as montré montre que la simplification par A est inconsistante. C'est toi-même qui le montre puisque tu aboutis à 0=1.

**Médiat** · 09/08/2016, 13h48

Envoyé par andretou

Tu admets pourtant que dans le cas des suites convergentes l'addition d'une infinité de termes est autorisée.

Je n'ai JAMAIS écrit cela (bien au contraire) !

**Médiat** · 09/08/2016, 13h58

Fun Fact (pour faire plaisir à Sheldon) : Dans l'ensemble des nombres supernaturels, on peut multiplier entre eux une infinité de nombres (c'est défini dans cet ensemble), mais on ne sait pas faire toutes les additions dans cet ensemble (dans d'autres ensembles, on peut (d'une certaine façon, il suffit de le définir)).

**andretou** · 09/08/2016, 15h09

Envoyé par Deedee81

Pour parler d'une addition d'une suite infinie de termes, ça ne marche plus. Que ce soit convergent ou pas.
La définition standard fait alors appel à la notion de limite (avec tout ce qui tourne autour, comme la topologie, ce qui n'est pas nécessairement trivial). Et il faut évidemment que la limite... existe !!!! Les séries convergentes sont celles dont la limite existe. Si elles ne convergent pas : pas de limite, pas d'addition.

Ok, merci Deedee et merci à tous pour vos explications.
Le paradoxe consistait donc, si j'ai bien compris, à appliquer les lois de l'addition à cette suite 1 + 1 + 1 + 1 +... alors qu'elle ne converge pas vers une limite déterminée.
Pour autant, ainsi que nous l'a indiqué Albanxiii, le théorème de réarrangement de Riemann permet de faire converger certaines séries non convergentes vers autant de limites que l'on veut.
Ainsi, même si une suite a une limite déterminée, cela ne prouve pas que cette suite est convergente, et que l'on peut lui appliquer les lois de l'addition !...
Comment donc savoir si on peut appliquer les lois de l'addition à telle suite convergente en particulier, et pas à telle autre ?
Ma conclusion : on sait depuis longtemps (Euler ?) que les séries divergentes sont un casse-tête insoluble, mais finalement c'est peut-être le concept même d'addition qui est le plus grand défi à la logique.

**Matmat** · 09/08/2016, 15h10

Envoyé par andretou

Je ne comprends pas pourquoi selon toi une addition n'est valide que si elle s'applique à seulement 2 termes.

C'est la définition , lorsque tu dis à ta calculatrice de réaliser l'opération 1 + 1 + 1 , tu lui ordonnes de réaliser non pas une opération mais bel et bien deux , elle fait autant d'opération successives qu'il y a de signe + dans ta phrase , et quand les calculs successifs sont TERMINES elle affiche le résultat , donc pour 1 + 1 + 1 + ... elle n'affichera jamais A

**Médiat** · 09/08/2016, 15h17

Envoyé par andretou

c'est peut-être le concept même d'addition qui est le plus grand défi à la logique.

Mais non puisque l'addition est définie pour deux termes (je ne sais plus comment vous le dire !)

**andretou** · 09/08/2016, 15h27

Envoyé par Médiat

Mais non puisque l'addition est définie pour deux termes (je ne sais plus comment vous le dire !)

Mais je ne le conteste pas !!!

**Deedee81** · 09/08/2016, 15h27

Envoyé par andretou

Pour autant, ainsi que nous l'a indiqué Albanxiii, le théorème de réarrangement de Riemann permet de faire converger certaines séries non convergentes vers autant de limites que l'on veut.

Non, relit le théorème. Ce n'est vrai que pour les séries semi-convergentes. 1+1+1+1... n'est pas semi-convergente.

Ce que montre ce théorème est que :
- pour une série absolument convergente, l'ordre importe peu, la limite est toujours la même
- pour série semi-convergente, la limite dépend de l'ordre. On doit donc considérer qu'on a là des séries différentes et que remanier l'ordre sans autre forme de procès est une erreur.
(en espérant ne pas dire une bêtise)

**andretou** · 09/08/2016, 16h03

Envoyé par Deedee81

Non, relit le théorème. Ce n'est vrai que pour les séries semi-convergentes. 1+1+1+1... n'est pas semi-convergente.

Ce que montre ce théorème est que :
- pour une série absolument convergente, l'ordre importe peu, la limite est toujours la même
- pour série semi-convergente, la limite dépend de l'ordre. On doit donc considérer qu'on a là des séries différentes et que remanier l'ordre sans autre forme de procès est une erreur.
(en espérant ne pas dire une bêtise)

En effet, je me suis emmêlé entre séries absolument convergentes et séries semi-convergentes... Merci pour ta remarque.
Du coup, je reformule :
Le paradoxe consistait donc, si j'ai bien compris, à appliquer les lois de l'addition à cette suite 1 + 1 + 1 + 1 +... alors qu'elle ne converge pas vers une limite déterminée.
Pour autant, ainsi que nous l'a indiqué Albanxiii, le théorème de réarrangement de Riemann permet de faire converger certaines séries non absolument convergentes vers autant de limites que l'on veut.
On sait depuis longtemps (Euler ?) que les séries divergentes sont un casse-tête insoluble. Mais les lois de l'addition même appliquées à des suites convergentes (en l'occurence aux suites semi-convergentes) donnent là aussi des résultats paradoxaux !
Ma conclusion : au-delà des paradoxes inhérents aux séries divergentes et aux séries semi-convergentes, c'est peut-être le concept même d'addition qui est le plus grand défi à la logique.

**pm42** · 09/08/2016, 16h19

Les séries divergentes ne sont pas un casse tête insolubles, il n'y a pas de contradiction avec les séries semi-convergentes et l'addition ne pose aucun défi à la logique.

Ce n'est pas parce que vous avez du mal à comprendre quelque chose (cf. ce fil) que la chose en question pose un problème.

**andretou** · 09/08/2016, 17h39

Envoyé par pm42

Les séries divergentes ne sont pas un casse tête insolubles, il n'y a pas de contradiction avec les séries semi-convergentes et l'addition ne pose aucun défi à la logique.

Ce n'est pas parce que vous avez du mal à comprendre quelque chose (cf. ce fil) que la chose en question pose un problème.

Vous avez sans doute raison. Cependant, un célèbre mathématicien qui connaissait un peu le sujet n'a-t-il pas déclaré : "Les séries divergentes sont une invention du diable, et il est honteux de fonder sur elles la moindre démonstration" ?
"Divergent series are the invention of the devil, and it is shameful to base on them any demonstration whatsoever"

invite9dc7b526 · 09/08/2016, 17h49

au contraire, les séries divergentes sont très intéressantes : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...t_asymptotique

**andretou** · 09/08/2016, 17h55

Envoyé par minushabens

au contraire, les séries divergentes sont très intéressantes : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...t_asymptotique

Les séries divergentes sont mêmes absolument fascinantes !
https://sciencetonnante.wordpress.co...s-divergentes/

invite23cdddab · 09/08/2016, 19h23

Envoyé par andretou

Vous avez sans doute raison. Cependant, un célèbre mathématicien qui connaissait un peu le sujet n'a-t-il pas déclaré : "Les séries divergentes sont une invention du diable, et il est honteux de fonder sur elles la moindre démonstration" ?
"Divergent series are the invention of the devil, and it is shameful to base on them any demonstration whatsoever"

Il a écrit ça il y a 200 ans...

**Médiat** · 09/08/2016, 19h51

Dans le même genre, sur un autre sujet (par deux de mes héros) :

Envoyé par Georg Cantor

L'infection des mathématiques par le bacille du choléra des infinitésimaux.

Envoyé par Bertrand Russel

Les infinitésimaux sont non nécessaires, erronés et auto-contradictoires

**stefjm** · 14/08/2016, 18h56

On n'écoute jamais assez les avertissement des grands...
Poincaré avertissait aussi à propos de l"usage des équations différentielles en physique.

**andretou** · 15/08/2016, 12h37

Bonjour
Selon Poincarré, qu'est-ce qui pose problème avec les équations différentielles ?...

**stefjm** · 15/08/2016, 18h26

problème de l'arbitraire des conditions initiales :
http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4610228

c'est dans ses dernières pensées :
http://henripoincarepapers.univ-lorr.../hp1913dp.html

Il reprochait aussi aux équations différentielles de ne pas être adaptées au quanta de Planck

invite23cdddab · 15/08/2016, 22h11

N'en reste pas moins qu'à l'heure actuelle, toute la physique repose sur des équations différentielles.

**stefjm** · 16/08/2016, 11h32

Eh oui!
Sans doute parce que l'arithmétique et la théorie des nombres sont bien trop difficiles pour les physiciens

L'article de Poincaré sur la théorie des quanta.
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241783/document

On sait à quelle hypothèse M.
Planck a été conduit par ses recherches sur les lois du rayonnement. D’après lui, l’énergie des radiateurs lumineux varierait d’une manière discontinue, et c’est ce qu’on appelle la théorie des Quanta. Il est à peine nécessaire de faire remarquer combien cette conception s’écarte de tout ce qu’on avait imaginé jusqu’ici ; les phénomènes physiques cesseraient d’obéir à des lois exprimables par des équations différentielles, et ce serait là, sans aucun doute, la plus grande révolution et la plus profonde que la philosophie naturelle ait subie depuis Newton. Je ne parlerai pas des difficultés de détail, elles sautent à tous les yeux et M. Planck
est le premier à s’en préoccuper.

Fin de citation.

L'article est assez édifiant.

invite9dc7b526 · 16/08/2016, 11h39

salut,

que la réalité soit discontinue n'empêche en rien de la modéliser par des fonctions continues et différentiables, et donc par des EDO ou EDP. Je travaille dans le domaine de l'écologie/évolution et on modélise les tailles de population par des équations différentielles, or un nombre d'individus ne peut pas croître de moins que 1, et les sauts de N à N+1 n'ont lieu qu'à des instants discrets.

**stefjm** · 16/08/2016, 11h56

L'article souligne aussi la nécessité du discret.

**pm42** · 16/08/2016, 13h16

L'article date de 1912, avant la découverte de la dualité, avant l'équation de Schrodinger, avant la théorie quantique des champs.
Autant dire que le citer aujourd'hui est très peu pertinent.

**stefjm** · 16/08/2016, 13h33

Pour la pertinence, je laisse T Paul en juger vu qu'il publie un article sur le sujet en 2009 :
https://archive.org/details/arxiv-0901.3209

**pm42** · 16/08/2016, 14h05

Envoyé par stefjm

Pour la pertinence, je laisse T Paul en juger vu qu'il publie un article sur le sujet en 2009 :
https://archive.org/details/arxiv-0901.3209

C'est un article d'histoire des sciences qui analyse le mode de réflexion de Poincaré, il ne reprend absolument pas ses objections.
C'est encore moins pertinent.

**Médiat** · 16/08/2016, 14h14

Bonjour,

Merci d'arrêter le HS (le sujet ici est précisé dans le titre), au besoin ouvrez un fil dans le forum "Débat Scientifique" (je pourrais déplacer les messages sur ce sujet),

Médiat, pour la modération

Personnellement, je ne vois pas de raison de reprocher à un scientifique quelconque de s'être trompé sur l'avenir des sciences.

**Médiat** · 16/08/2016, 14h39

Pour revenir sur la question en débat, il est possible de définir, assez naturellement, une "somme" infinie dénombrable d'ordinaux :

Soit $\text{[math]}$ une famille dénombrable d'ordinaux, on pose $\text{[math]}$ , alors la somme infinie $\text{[math]}$

Cette définition est bien formée, mais elle n'est pas d'un grand intérêt si on impose que tous les $\text{[math]}$ soient des ordinaux finis, en effet, soit cette somme est une somme finie (que des 0 à partir d'un certains rang), soit elle est égale à $\text{[math]}$ .

Les logiciens étant précautionneux, cette somme n'est pas notée +, mais # (même dans les sigma, le # devrait apparaître, mais avec le Latex du forum ...), il n'y a donc pas de confusion possible (et aucune raison d'appliquer des propriétés de la somme (puisque ce n'est pas "elle"), comme l'intégrité.

**ulyss** · 16/08/2016, 15h37

Bonjour,

Il me semble que l'on peut aussi écrire l'égalité "formelle" (ou autre appellation correcte de cette égalité) :
$\text{[math]}$

(avec somme "infinie" des 1)

Par prolongement analytique en 0 de la fonction Zêta de Riemann.

Cette égalité "formelle" est vraiment bizarre et peu intuitive.

**Médiat** · 16/08/2016, 16h04

Bonjour,

Ce point a été discuté de nombreuses fois : ce n'est pas la somme (en tout cas au sens usuel), il est donc nécessaire de préciser de quoi on parle cf.wikipedia sur la "Ramanujan summation"

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

Re : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?