Bonjour,
Je suis néophyte en math et j'aimerais bien un petit peu d'aide pour résoudre une équation différentielle que voici:
h'' = a + b exp-kh h'2+c/h2
h étant en fonction de t et a,b,c et k étant des constantes.
Après j'ai bien essayer de faire manger ça à mathematica mais il a rien voulu savoir. ( Surement à parce que je ne sais pas m'en servir... D'ailleurs si qqun à un lien pour un tuto/cours, je suis preneur.)
Bonjour,
j'aimerais vraiment que quelqu'un m'aide, svp. Me dire par où commencer, où regarder, pourquoi, comment... un peu d'aide quoi.
Merci d'avance.
Essaye de regarder si une série entière est solution.... c'est la seule piste que je vois pour l'instant.
Bonjour,
Une première approche qu'on peut faire dans un cas général d'équation du second ordre homogène (c'est à dire qui ne dépend pas explicitement du temps), c'est de la transformer en un système d'équations du premier ordre, de la manière suivante :
on pose h'=g, et on se ramène au système :
dg/dt=a+ bexp(-kh).g²+c/h² et dh/dt=g,
On en déduit : dg/dh=(a+bexp(-kh).g²+c/h²)/g. En posant f=g², on arrive à l'équation plus simple suivante : df/dh=2.f.exp(-kh)+2a+2c/h² ou bien f'-2f.exp(-kh)=2a+2c/h²
C'est maintenant une équation linéaire du premier ordre en f, avec second membre, dont il faut trouver une famille de solutions de la forme f=F(h). Ce n'est pas la partie la plus difficile...
Mais la suite n'est plus aussi directe : on passe à g=racine(F(h))=G(h)
Ensuite, il restera à intégrer l'équation dh/dt=G(h) soit dt/dh=1/G(h), On peut ainsi exprimer t comme une primitive de 1/G(h), et l'étape finale serait d'inverser la fonction pour retrouver h comme une fonction de t.....
Il me semble peu probable qu'on mener le calcul analytiquement jusqu'au bout, mais, avec un logiciel type mathematica, on doit pouvoir résoudre numériquement et se faire un idée de la forme générale des solutions.
Pour info, les solutions sont une famille à deux paramètres (car second ordre), mais l'un des deux est simplement la constante d'intégration en t
(qui décale les solutions dans le temps) : Il y a seulement un paramètre non trivial, c'est celui de l'intégration de l'équation linéaire du premier ordre.
Dernière modification par Resartus ; 03/08/2017 à 09h57.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
@JubJub25 : D'où vient cette equation ? D'un exercice scolaire ? Si oui, il est certain qu'il y a une erreur de typographie dans l'équation, ou que l'équation est fausse à cause d'une erreur dans les calculs qui l'ont produite. En effet, cette équation différentielle est d'un niveau considérablement plus élevé que ce qui peut être trouvé dans un problème pour étudiant.
Il est également possible que ce qui est demandé dans l'énoncé du problème n'est pas de résoudre l'équation, mais de répondre à la question posée sans résoudre explicitement l'équation.
Il est aussi possible que l'on demande de résoudre le problème par calcul numérique et que l'on ait volontairement donné une équation trop difficile à résoudre analytiquement, de telle sorte que l'étudiant soit obligé d'effectuer le calcul numérique souhaité.
Dernière modification par JJacquelin ; 03/08/2017 à 11h18.
Wow merci à tous !
Je vais pouvoir peut être avancé un peu la-dessus.
@JJacquelin : Alors nan en effet ce n'est pas un exercice scolaire (Mais ça pourrait.). C'est en fait l'équation de l’accélération d'un point massique soumis à une force, la gravité relative à la distance et le frottement de l'air, ce en prenant en compte la différence approximative de la densité de l'air. ^^
L'équation d'origine étant:
Le traditionnelétant remplacé ici par
C'est pour définir la trajectoire d'une fusée. Pour ceux que ça intéresse, je ferais un petit .xcl que je partagerais une fois résolu. L'objectif final étant un mod de prévision de trajectoire pour ksp.
Visiblement ton h = R + z, z = altitude, R = rayon terrestre...
Je ne sais pas trop quelle altitude z la fusée est supposée atteindre, mais ton
si tu tiens vraiment à garder la gravité comme fonction de l'altitude, tu peux aussi linéariser avec un DL au 1er ordre.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
En effet, mais dans mon cas je prévois des changements d'orbites, donc des altitudes z extrêmement grandes et donc impactant la force gravitationnel.
OK.
comme tu utilises des formules de frottement d'air, on pouvait penser que tu restais dans la stratosphère, soit z < 50 km.
(z+R)² ~= R² (1 + 2z/R). Soit R² à 1.6% près.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Bonjour,
oui effectivement, les frottements de l'air sont-ils nécessaires... ? Vos orbites elles sont supposées avoir quel ordre de grandeur ?
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
En fait les 2 aspects de l'équation sont très importants. En effet le frottement de l'air est très importants lors du décollage et la gravité relative est très importante lors de voyages trans-orbitale.
Mais en effet vous venez de mettre le doigt sur un aspect que je n'avais pas du tout remarqué qui est:
Dans la phase de décollage la gravité est quasiment constante, et dans les voyages trans-orbitale le frottement de l'air est nul.
Comme ça, ça à l'air de rien mais en pratique je devrais pouvoir utiliser 2 formules différentes en fonction du cas et du coup simplifier énormément la formule que j’essaie de résoudre.
Encore merci !
