Problème d'algèbre linaire...

[invite13b423f5]

Bonjour

Je bloque sur cet exercice :
Soit d et soit f:C[X]->C[X], P(1-dX) |->P+X²P'
Prouver que f est un endomorphisme injectif de C[X].Est il surjectif ?

Alors j'ai deja trouver quelques trucs
Pour la 1ere question, montrer que f est une application linéaire puis travailler avec les noyaux.f injective ssi Ker(f)=0
Puis pour la surjectivité prendre un polynome et developper l'expression obtenue.Un ténor des maths pourrait il m'aider ? C'est très important pour moi,je dois rediger cet exercice sinon mon proff de math va me tuer !Cordialement
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[ericcc]

Ton énoncé n'est pas clair : quelle est la définition de f ? Je ne comprends pas ce que d vient faire là dedans ?

[invite13b423f5]

Ok désolé

Alors d appartient a N ( entier naturel) et est FIXE
et a tout polynome P on associe (1-dX)P+X²P'

Desolé j'ai fait des erreur de frappe ( je l'avais ecrit en LATEX) mais ca ne la pas pris sur le forum

L'ennoncé devient :

Soit d appartenant à N fixé et soit f:C[X]->C[X], P |->(1-dX)P+X²P'
Prouver que f est un endomorphisme injectif de C[X].Est il surjectif ?

Voila encore désolé

[ericcc]

QU'as tu déjà fait ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Juste une indication qui peut t'éviter des calculs : regarde le degré de f(P)

[invite13b423f5]

Alors ce que j'ai deja fait
J'ai montrer que l'application était linaire
J'ai pris 2 polynomes P etQ et 2 réel a et b et j'ai montré que f(aP+bQ)=af(P) + bf(Q)
Or ca va de C dans C donc c'est un endomorphisme.
Après il faut montrer que c'est injectif pour cela on montrer que Ker(f)=0
Mais ca je ne sais absoluement pas comment faire
Et pour la surjectivité c'est pareil
Merci de m'aider
Cordialement

[ericcc]

Regarde mon indication : quel est le degré de f(P) ?

[invite13b423f5]

Ben moi j'avais raisonné avec les rangs
Soit n le degré de P
Alors rg(P)=n
Puis rg(P') = n-1
et enfin rg(X²P')=2+(n-1)=n+1

Voila après ca m'aide a rien donne moi un raisonnement , je ne comprend rien la !

[ericcc]

Tu confonds rang et degré : un polynôme a un degré, pas un rang. Le degré d'un polynôme, c'est le degré de la puissance la plus élevée de X dans son expression.
Le rang d'une application linéaire c'est la dimension de son image.
Ici on raisonne dans l'espace vectoriel C[X], qui est de dimension infinie.

Pour trouver le degré de f(P), c'est facile : il suffit de prendre la valeur la plus élevée entre (1-dX)P et X²P' : que trouves tu ?
Une autre façon de faire : prends un polynôme très simple, par exemple X ou X², regarde ce qu'il devient avec ton application f. Plus généralement que trouverait on avec Xⁿ ?

[invite4b9cdbca]

Bonjour !
Pour la surjectivité, l'énoncé suggère d'avance que f n'est pas surjective. Il suffit donc de trouver un exemple de cas particulier (ie un polynôme qui ne puisse pas être image d'un autre par f... travailler sur les degrés semble judicieux, je pense)

[invite13b423f5]

Ben degré de P c'est deg(P) et ca depend de P
Si P est de degré n c'est n
Mais je ne comprend pas après ce qu'il faut faire ?
Vous voudriez pas me faire le raisonnement car je suis totalement bloqué

Merci

[invite4b9cdbca]

Si P est de degré n, que penses-tu de deg(f(P)) ?
Que peux tu alors en conclure ?

[ericcc]

Essaye de répondre à ma question qui est simple : si P est de degré n, quel est le degré de f(P) ?

[invite13b423f5]

Ben deg(P)=n et deg(X²)=2 ainsi que deg(P')=n-1
Donc Deg(f(P))=max(n,2(n-1))=2n-1

C'est ca ?
Après ca m'avance pas !

[invite4b9cdbca]

Attention !
deg(X²*P')=deg(P')+2 et non 2*deg(P)

[ericcc]

Avec la correction de Kron, tu vois que le degré de f(P) est n+1.
Maintenant : quel est le degré du polynôme nul ? Peut on trouver un polynôme non nul K[X] tel que degré f(K)=degré du polynôme nul ?

[invite13b423f5]

Ben c'est de degré 1
Ben je ne sais pas
Je suis laché la, je ne comprend pas votre raisonnement, expliquer moi svp

[ericcc]

Ben c'est de degré 1

Non, le polynôme X+a est de degré 1, le polynôme nul est de degré ... ???

[invite13b423f5]

de degré 0 !!

[ericcc]

Donc si P est de degré n et NON NUL, f(P) est de degré n+1. Peut on avoir n+1=0 ?

Qu'en conclut on pour P ? La fonction est elle injective ?

Pour la surjectivité, je te laisse trouver un polynôme qui n'a pas d'antécédent par f...

PS, pour le fun : tu as dû apprendre qu'en dimension finie un endomorphisme injectif était aussi surjectif, donc bijectif. Ici ce n'est pas le cas car on raisonne sur C[X] qui est de dimension infinie. Mais si on raisonnait sur l'espace vectoriel Cn des polynômes de degré inférieur à n ce serait un espace vectoriel de dimension finie. Pourquoi alors f est elle injective et non surjective ?

[invite13b423f5]

On ne peut pas avoir n+1=0 car n appartient a n
Donc f est injective mais je ne sais toujours pas POURQUOI !
deg(P) est different de 0 ??

J'en c'est rien, expliquer moi svp

[invite4b9cdbca]

Petite objection : le polynôme nul est de degré -infini.
Sinon pour le raisonnement dans son ensemble :

tu as un endomorphisme et tu cherche son noyau/son image

Pour le noyau, il faut te demander quels polynomes P vérifient : f(P)=0
Si le seul polynome convenable est 0 tu as montré l'injectivité.

Pour la surjectivité, il te suffit d'exhiber un polynôme qu'on ne peut pas obtenir en faisant f(P), bref un polynome n'appartenant PAS à Im(f).

Voilà pour le raisonnement global.

Pour les idées plus précises, on te propose de raisonner sur le degré des polynomes.

f(P)=0 équivaut à deg(f(P))=-infini, ce qui n'est possible que si (...) <- je te laisse chercher

Est ce qu'il y a un polynome simple que tu ne peux pas avoir avec f ? (regarde le degré, et déduit une condition nécessaire pour un polynome, pour appartenir à Im(f) )

[invite13b423f5]

Voici ma solution mais quelques doutes subsistent !

1) Pour tout P,Q appartenant à C[X],pour tout a, b appartenant à C,
f(aP+bQ)=(1-dX)(aP+bQ)+X²(aP+bQ)'= af(P)+bf(Q)

Donc f est linéaire.

Determinons Ker(f).
Resolvons pour se faire l'equation E d'inconnu u donnée par (1-dX)u+X²u'=0 sur ]0,+infini[.

(1-dX)u+X²u'=0 ssi u'=-((1-dX)/X²)u
ssi u'=(-1/X²+d/X)u

On note v(X)=(-1/X²+d/X)
Une primitive de v est donnée par : B(X)=1/X+dlnX
Donc u est solution de E ssi u(X)=Aexp(1/X-dlnX)=Aexp(-B(X))
ssi u(X)=Aexp(1/X) exp(-dlnX)
ssi u(X) = AX^-d exp(1/X)

Soit P appartenant a Ker(f) tel que P different de 0
Cela signifie qu'il existe A tel que, pour tout X réel dans ]0,+l'infini[
P(X)=A x^-d exp(1/X) , donc que lim X^-d exp(1/X) tend vers P(0)/A lorsque X tend vers 0+.C'est contradictoire vu que lim X^-d exp(1/X) tend vers +
en 0+.
Donc Ker(f)={0}

Ainsi f est un endomorphisme injectif.

2)Soit P de degré n.On a deg(P)=n
On a deg(X²)=2 et deg(P')=n-1 donc deg(X²P')=deg(P')+2 = n+1 donc deg(f(P))=n+1 .

(*)Si P est de degré n supérieur ou égal à d+1, alors, f(P) est de degré égal à n+1 et ne peut donc pas être égal à X^(d+1).

(*)Si P est de degré inférieur ou égal à d, alors, f(P) est de degré inférieur ou égal à d et ne peut donc pas être égal à X^(d+1).

Ainsi l'equation f(P)=X^(d+1) n'a pas de solution dans C[X]

Donc f n'est pas surjective.

Faut-il mettre autre chose ? MERCI DE M AIDER A REDEMONTRER LES 2 ASSERTIONS (*)
Merci pour toute reponse correspondante !

[ericcc]

Tu te compliques la vie inutilement :
Pour l'injectivité tu sais que pour tout polynôme P de degré n, f(P) est de degré n+1. Pour le noyau de f, il faut trouver l'ensemble des polynômes K de degré p tels que f(K)=0. il te faut donc un polynôme qui soit tels que degré(f(K))=-infini. Or degré (f(K))=p+1. Donc p=-infini, donc K=0, donc elle est injective.
Pour la surjectivité, cherche un antécédent au polynôme constant...