projecteurs

[invite3f53d719]

Bonjour,

J'ai deux projecteurs orthogonaux p,q d'un eV euclidien, et je dois montrer que pq est diagonalisable.

Je vois vraiment pas comment procéder...

Merci
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[erff]

Bonjour, c'est bizzare je ne me sers pas de l'orthogonalité...
E=Ker(p) + Im(p)
Donc soit x=x1+x2 selon cette décomposition
alors x = x11 + x12 + x21 + x22 en décomposant x1 et x2 sur Ker(q)+Im(q)
en calculant on voit que pq(x)=x22

Donc soit x est dans l'intersection des images du coup pq(x)=x soit x est dans un supplémentaire alors pq(x)=0
Donc pq se diagonalise dans une base du type Im(p) inter Im(q) + G où est un de ses supplémentaire...
Enfin bon ca me parait bizzare car je ne retrouve pas par le calcul que (pq)²=pq...A vérifier tout de même

[invite9cf21bce]

Bonjour, c'est bizzare je ne me sers pas de l'orthogonalité...
E=Ker(p) + Im(p)
Donc soit x=x1+x2 selon cette décomposition
alors x = x11 + x12 + x21 + x22 en décomposant x1 et x2 sur Ker(q)+Im(q)
en calculant on voit que pq(x)=x22

Salut.

Je suis gêné par ton idée, j'avais la même, mais la décomposition en quatre termes n'est pas une décomposition en somme directe, en fait. Fouille un peu et dis-nous si ça marche vraiment.

Sinon, pq n'est pas un projecteur en général ! Un exemple simple dans le plan (j'ai pris q : projection sur l'axe des ordonnées, p : projection sur la droite y=-x) donne une valeur propre non nulle qui n'est pas 1.

Donc il n'y a aucune raison que (pq)²=pq...

Ma deuxième idée est plutôt une indication : j'ai constaté en trifouillant que (Ker q+Im p) est stable, ainsi que son orthogonal...

Taar.

[erff]

Effectivement je vois où est mon erreur, en fait la seule chose que l'on peut dire c'est que Im(p) inter Im(q) est stable et la restriction de pq à cet espace est l'identité, et la restriction de E à Ker(q) est l'application nulle. Pour le reste, tout est encore possible.
Si qqun a une solution elle m'interesse également.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Effectivement je vois où est mon erreur, en fait la seule chose que l'on peut dire c'est que Im(p) inter Im(q) est stable et la restriction de pq à cet espace est l'identité, et la restriction de E à Ker(q) est l'application nulle. Pour le reste, tout est encore possible.
Si qqun a une solution elle m'interesse également.

Bon alors je donne ma solution (finalement simple, mais trouvée dans la douleur). Comme je le disais, (Ker q + Im p) est stable (par p et q), mais après simplification de la preuve je me sers effectivement de (Ker q + Imp), mais pas de sa stabilité. C'est parti :

Si et sont des sous-espaces, on sait que .Ici, comme et sont orthogonaux, et , donc .
On a donc la décomposition suivante : .
Pour tout , on a . Et pour tout , on a .
Ainsi, , d'où la décomposition : . Par le lemme d'échange, on peut encore écrire cette décomposition sous la forme :

où est un sous-espace de .
D'une part, est nul sur .
D'autre part, il est immédiat que est stable par . Mieux, pour tous , on peut écrire et ; notant le produit scalaire de , comme et sont des projecteurs auto-adjoints :

Ainsi, l'endomorphisme de induit par est auto-adjoint. Il est donc diagonalisable (dans une base orthonormale de ).
En recollant les deux morceaux et , on conclut que est diagonalisable.

[invite9cf21bce]

où est un sous-espace de .

En passant, noter que et ne sont pas orthogonaux en général.