projecteurs

[invitedfcc3a8e]

bonjour,
j'ai un exercice de maths a faire mais je suis bloquée; voilà l'énocé:
soit E un IR espace vectoriel
On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E vérifiant p² = p°p ( p rond p )=p

1. Soit u et v deux endomorphisme de E tels que v= IdE - u
(IdE est l'identité de E)
Montrer que v est un projecteur ssi u est un projecteur.
2. Dans ce cas , établir que Im u = ker v et ker v = Im u .
3. prouvez que si u est un projecteur alors e = Im u + ker u ( somme directe)

Je ne sais pas comment démontrer ces question.
merci pour votre aide
Audrey
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[invitebb921944]

Bonjour, un exemple simple pour te permettre de comprendre le mécanisme :

dans la première question, on te demande une équivalence (donc deux implications).
Je vais en montrer une !

1. Soit u et v deux endomorphisme de E tels que v= IdE - u
(IdE est l'identité de E)
Montrer que v est un projecteur ssi u est un projecteur

Montrons que si v est un projecteur, alors u est un projecteur.

Je suppose évidemment que v est un projecteur. La seule chose que je connais alors est :

v°v=v
Je dois faire apparaitre u pour montrer que u est un projecteur.
Je remplace v par Ide - u :
(IdE-u)°(IdE-u)=IdE-u

IdE°IdE-IdE°u-u°IdE+u°u=IdE-u

Or :
IdE(IdE)=IdE
IdE(u)=u
u(IdE)=u

On en déduit :

IdE-2u+u°u=IdE-u
Et on conclut :
u°u=u

Voila bonne chance pour la suite !

[invitedfcc3a8e]

Est ce que ma démonstration est juste?
je démontre l'autre implication càa si u est un projecteur alors av est un projecteur:

on suppose que u est un projecteur dc
u°u = u

or v=IdE -u
=>u=IdE-v
(IdE-v)°(IdE-v)=IdE-v
<=> IdE°IdE -IdE°v-v°IdE +v°v = IdE-V
<=> IdE -2v + v°v =IdE-v
<=> v°v =v
voilà.
Est ce juste?
Comment je peux démontrer la quection 2?

[invitebb921944]

2. Dans ce cas , établir que Im u = ker v et ker v = Im u .

Il faut montrer que si x appartient à Imu, alors x appartient à kerv. Ce qui revient à dire que Imu est inclus dans kerv.
Puis montrer que si x appartient à kerv, alors x appartient à Imu. Ce qui revient à dire que kerv est inclus dans Imu.
Or, deux implications impliquent une égalité pour des espaces vectoriels.

Tu utiliseras toujours cette méthode de prendre un vecteur dans l'un et de montrer qu'il est dans l'autre pour montrer des inclusions d'espaces vectoriels.
Bonne chance !
Et n'oublie pas de bien poser tes hypothèses au début, et d'écrire ce que veut dire que x appartient à kerv ou que y appartient à Imu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedfcc3a8e]

merci pour ces indications