Projecteurs

[invite4b9cdbca]

Bonsoir !
Alors voila j'ai un exercice sur les applications linéaires et bon, je dois dire que je sais pas par quel bout le prendre. Je vous le soumets donc, si quelqu'un pouvait m'accorder un peu de son attention...

Soit K un corps (R, Q ou C), E un K-espace vectoriel de dimension finie n>0, p et q sont deux projecteurs de E
a/Montrer que :
(p+q) est un projecteur <=> poq = qop = 0

b/Montrer que :
(p+q) est un projecteur => Im(p+q) = Im(p) + Im(q) et Ker(p+q)=Ker(p) "inter" Ker(q)

Le problème c'est que je sais vraimentpas comment aborder la question a/

Sur R² c'est assez facile à voir, et la démo n'est pas si terrible à bidouiller... Mais comment généraliser sur Rⁿ ?

Help !!!
Merci d'avance
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[invitea8d97425]

Quelques indications :

a/ => Tu écris (p+q)^2, puis tu composes l'expression obtenue à gauche et à droite...

<= Pas trop de problème, il suffit d'écrire.

b/ Essaye d'écrire et tu verras si ça bloque. Reviens si tu as des questions précises sur des points (en écrivant ce que tu cherches, ça devrait fonctionner).

[invitedf667161]

Salut, pour la a) je crois que c'est un "classique" et je me rappelle l'avoir aussi tourné dans tous les sens pendant des heures avant d'y arriver. mais je retente ici :

Le sens <= est facile puisque si poq=qop=0 alors :
(p+q)^2 = p^2 + poq + qop + q^2 = p^2 + q^2 = p+q
et p+p est bien un projecteur.

C'est la réciproque qui bloque. Supposons donc p+q projecteur, donc :
(p+q)^2 = p+q = p + poq + qop + q
d'ou déjà poq + qop = 0.
Mais comment montrer que ces deux trucs sont en fait nuls ? Eh bien il faut mettre un "-" quelque part, je conseille de regarder, un peu au pif (p-q)^2 :
(p-q)^2 = p^2 - poq - qop + q^2 = p - poq - qop + q
" = (p+q)^2 - poq - qop d'après ce qui précède.

Du coup :
(p-q)^2 - (p+q)^2 = - poq - qop = 0 d'une part
(p-q)^2 - (p+q)^2 = (p-q+p+q)o(p-q-p-q) = -4poq d'autre part.

Donc poq = 0 et qop aussi.

En espérant être assez clair, ca le serait beaucoup plus si tu le voyais faire en vrai.

[invite4b9cdbca]

Oui d'accord, en fait je bloquais parceque j'osais pas donner une structure d'algèbre aux applications linéaires, mais bon, après réflexion ça marche.
A partir de là, je comprends bien vos démo.
Merci bien !

Cordialement,

Kron

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Ah ça, il y a surement une structure d'algèbre sur les applications linéaires ! Sinon on n'écrirait pas poq ...

Par contre il faut faire gaffe, ça ne commute pas !