Problème d'algèbre : Trigonalisation

[Clover]

Bonjour!

J'ai eu lundi un petit devoir d'algèbre... Tout ce passe bien jusqu'à la dernière question. Trigonaliser la matrice A:
A = -2 -1 2
-15 -6 11
-14 -6 11

Je ne me pose pas que de question je sais que :
P^-1AP=T

J'ai préalablement trouvé les valeurs propres : S={1,1,1}

J'ai donc un vecteur propre
V₁= (1,1,2)

Je l'utilise pour ma matrice de passage P.
Il faut compléter P...

Donc j'ai trois questions:
1- Pour compléter P, j'ai compris qu'il suffisait de prendre les vecteurs de la base canonique de telle sorte que P soit libre... Est-ce exact? Sinon c'est quoi le truc?
2- Encore une fois ce que j'ai compris de mon cours c'est que toutes matrices carrées est trigonalisable tant que l'on a assez de valeurs propres. (Ici matrice 3*3 donc 3 valeurs propres) Est-ce exact? Ou faut-il qu'elle réponde à d'autres conditions?
3- T existe-t-elle comme je le pense? Et si oui qu'elle est-elle et comment la trouver.

Merci d'avance!
Clo' *désespérée sur cette matrice... qui va se mettre au Cobol pour changer un peu...*
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[Gwyddon]

bonjour,

je n'ai pas le temps de te répondre en détail ; néanmoins, une chose est sûre, ta condition de trigonalisabilité ne veut rien dire. Une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique (ou minimal d'ailleurs) est scindé ; ainsi toute matrice complexe (ou prise dans m_n(C) ) est trigonalisable, mais ça n'est pas le cas des matrices réelles.

[Clover]

Salut!

Merci, de répondre aux questions auxquelles mon prof ne veut pas répondre et où je suis obligées d'essayer de trouver une réponses seule...
Par contre, pardonnez mon ignorance, mais je suis loin d'être une tête en math...
ça veut dire quoi que le polynôme soit scindé?

Merci

Clo'

[martini_bird]

Salut,

un polynôme est dit scindé quand il est produit de facteurs linéaires.

Ex: X²+2x+1 est scindé sur R. X²+1 n'est pas scindé sur R.

Sur C, tous les polynômes sont scindés (car C est algébriquement clos).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

3- T existe-t-elle comme je le pense? Et si oui qu'elle est-elle et comment la trouver.

Un bête pivot de Gauss ne ferait-il pas l'affaire?

[Colas]

Si j'ai bien compris ce que tu dis (Clover), la réponse est non, P n'est pas comme tu penses ! Tu n'as qu'à faire un essai, complète T par deux vecteurs de la base canonique et tu ne devrais pas obtenir une matrice triangulaire (à moins que ker(A-Id)^2 soit nul, ce que je n'ai pas vérifié). Vous n'avez vu aucun exemple ?!

[washal]

Il faut utiliser la transformée de Jordan
tu trouves un vect propre V3 appartenant à Ker(A-I)² \ Ker(A-I)
tu poses V2=(A-I)V3 (que tu calcules et qui est un 2ème vect propre) => AV3=V2-V3 (une des colonnes de la matrice A trigonalisée)
or (A-I)V2 = (A-I)²V3=0 (car V3 appartient a Ker(A-I)² ) on en déduit que AV2=V2
on trouve bien P avec V1(que tu as déjà calculé), V2 et V3
la matrice triangulaire est donc
AV1 AV2 AV3
P(-1)AP = 1 0 0
0 1 1
0 0 -1

A+ je ne sais pas si c'est à ton programme??? mais c'est une technique pas mal
Washal

[martini_bird]

Clover, tu peux aussi regarder ici.

Cordialement.

[r-one]

C bizarre je trouve pas(X-1)³ comme polynome caracteristique...Je v le refaire pour voir...